My title - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

12 TRANSITIVIDADE E ÓRBITAS DENSAS 82
Exercício. Embora o resultado seja óbvio, é instructivo provar que as rotações racionais não
são topologicamente transitivas usando o critério das funções invariantes, porque a demonstração
pode extender-se às translações do toro. (Basta observar que, se α = p/q com p e q inteiros, a
função x ↦→ sin(2πqx) está bem definida no círculo, é contínua, não é constante, e é invariante pela
rotação +α)
Rotações do toro.
Seja +α : R n /Z n → R n /Z n a translação do toro definida por
(x 1 , x 2 , ..., x n ) + Z n ↦→ (x 1 + α 1 , x 2 + α 2 , ..., x n + α n ) + Z n
Prove que, se os α i não são racionalmente independentes, i.e. se existe k ∈ Z n \ {0} tal que
∑ n
i=1 k iα i = 0 mod Z, então +α não é topologicamente transitiva. Mais difícil é provar que a
translação +α é minimal sse os α i são racionalmente independentes, i.e. se não existe k ∈ Z n \ {0}
tal que ∑ n
i=1 k iα i = 0 mod Z.