My title - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

12 TRANSITIVIDADE E ÓRBITAS DENSAS 81
Homeomorfismos minimais. O homeomorfismo f : X → X é um homeomorfismo minimal
se toda órbita completa O f (x) é densa em X, ou seja se X não contém um subconjunto próprio
fechado e invariante.
Os homeomorfismos minimais são transitivos. A discussão acima pode ser repetida tirando
os “+”... Em particular, um homeomorfismo f : X → X definido num espaço compacto admite
pelo menos um subconjunto minimal K, ou seja neste caso um subconjunto fechado, não vazio e
invariante que não contém subconjuntos próprios fechados e invariantes.
Exercícios.
• Dê exemplos de transformações f : X → X tais que Min f = ∅.
• Prove as implicações i) ⇔ ii) na definição de “transformação minimal”.
• Prove as implicações i) ⇔ ii) na definição de “homeomorfismo minimal”.
12.3 Rotações irracionais do círculo
Teorema.
Uma rotação irracional do círculo é um homeomorfismo minimal.
dem. Seja +α : x+Z ↦→ x+α+Z uma rotação do círculo R/Z, com α /∈ Q. Se +α não é minimal,
então existe uma órbita O +α (x) cuja aderência F não é igual a R/Z. O complementar (R/Z) \ F
é aberto, invariante e não vazio. Pela classificação dos abertos da reta, sabemos que (R/Z) \ F
é uma reunião enumerável de intervalos abertos (um ’“intervalo” do círculo é, por definição, um
subconjunto conexo) não vazios e dois a dois disjuntos. Seja I o (ou um dos) que tem comprimento
maior (porque existe). Como as rotações preservam o comprimento, as imagems (+α) n (I) com
n ∈ Z não podem coincidir (porque +α não tem pontos periódicos) nem intersetar-se (porque a
reunião seria um intervalo de comprimento maior). Logo elas são disjuntas e têm todas o mesmo
comprimento |I| > 0, mas isto é impossível porque o círculo tem comprimento finito.
A informação “aritmética” deste teorema é que, dado α /∈ Q, toda órbita
{x + nα + Z, com n ∈ Z}
é densa no círculo R/Z. De fato, é possível provar mais: toda órbita é “equidistribuida” no círculo,
no sentido em que, dada uma função integrável ϕ no intervalo [0, 1], as médias aritmética
1
n + 1
n∑
ϕ ({x + nα})
j=0
convergem para o integral ∫ 1
ϕ (x) dx (veja o teorema de Kronecker e Weyl no capitulo sobre a
0
ergodicidade).
Existe também a possibilidade de dar uma leitura “algébrica” deste resultado. Basta observar
que a órbita de 0, a identidade do grupo, é o subgrupo cíclico de R/Z gerado por α + Z. Portanto
o teorema diz que os subgrupos próprios e fechados de R/Z são os subgrupos finitos.
Example of a non-measurable set. If you believe the axiom of choice, you may consider a
set B made of one (exactly one!) point for any orbit of an irrational rotation R α of the circle.
The images B n = Rα(B), n for n ∈ Z, are pairwise disjoint and cover the circle. If B, hence all its
images, were Lebesgue-measurable, then
∑
|B| = ∑ |B n | = |∪ n∈Z B n | = |R/Z| = 1
n∈Z n∈Z
since rotations preserve Lebesgue measure, so that |B n | = |B|. But there exists no size b = |B| ≥ 0
such that ∑ n∈Z b = 1.