My title - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

12 TRANSITIVIDADE E ÓRBITAS DENSAS 80
nowhere dense se i ≠ j, tal que f (X i ) = X i+1 mod k e as restrições f n | Xi são topologicamente
+transitivas. ( A ideia é escolher um ponto x ∈ X tal que ω f (x) = X, e definir X i =
ω f n f i (x) ) ...
12.2 Minimalidade
A transitividade implica que muitos pontos têm órbitas densas. Isto não impede que exitam pontos
x cujas órbitas O + f
(x) tenham aderências estritamente contidas em X.
Conjuntos minimais. Seja f : X → X uma transformação contínua. Um subconjunto fechado
e não vazio K ⊂ X é dito minimal se é +invariante e se não contém subconjuntos próprio fechados
e +invariantes.
A órbita de um ponto periódico é um exemplo de um conjunto minimal.
Se K é minimal, então a órbita de todo x ∈ K é densa em K, pois caso contrário a aderência
O + f
(x) seria um subconjunto próprio de K, fechado e +invariantes. Isto implica que em particular
x ∈ ω f (x), e portanto todo ponto de um conjunto minimal é recorrente.
Se Min f denota a reunião dos subconjuntos minimais de X, as inclusões são
Per f ⊂ Min f ⊂ Rec f
Uma transformação arbitrária f : X → X pode não admitir conjuntos minimais (pense numa
translação da reta real).
( X compacto ⇒ Min f ≠ ∅) Se o espaço X é compacto, podemos considerar a família C
dos subconjunto C ⊂ X que são fechados, não vazios e +invariantes, munida da ordem parcial
“⊂”. A família contém pelo menos um elemento, o próprio X. Pelo lema de Zorn 27 (observe
que toda cadeia ... ⊂ C i+1 ⊂ C i ⊂ ... de elementos de C tem um limite inferior, porque uma
interseção de compactos encaixados é um compacto não vazio, e a invariância é preservada), C
contém um elemento minimal K, e este elemento minimal é um conjunto minimal. Em geral, se
uma transformação f : X → X admite um compacto C ⊂ X tal que f (C) ⊂ C, então admite pelo
menos um conjunto minimal K ⊂ C.
( X compacto ⇒ Rec f ≠ ∅) Corolario é que uma transformação f : X → X definida num
compacto admite pelo menos um ponto recorrente (que pode ser único!), pois Min f ⊂ Rec f .
Transformações minimais. Uma transformação contínua f : X → X é minimal se verifica
uma das condições equivalentes:
i) toda órbita O + f
(x) é densa em X,
ii) X não contém um subconjunto próprio fechado e +invariante, e portanto é um conjunto
minimal.
A equivalência i) ⇔ ii) acima é obvia. Se X é um espaço discreto, a minimalidade implica
que X é composto por uma unica órbita, que pode ser finita. Caso contrário, uma transformação
minimal não tem pontos periódicos.
(minimal ⇒ +transitiva) Obviamente, uma transformação minimal é +transitiva.
27 O lema de Zorn é um teorema de existência equivalente ao axioma da escolha.
Seja Ω um conjunto não vazio. Uma ordem parcial em Ω é uma relação ≼ reflexiva (x ≼ x ∀x ∈ Ω), anti-simétrica
(x ≼ y e y ≼ x ⇒ x = y) e transitiva (x ≼ y e y ≼ z ⇒ x ≼ z). Um conjunto parcialmente ordenado é um par
(Ω, ≼), um conjunto não vazio Ω munido de uma ordem parcial ≼.
Uma ordem em Ω é uma ordem parcial ≼ tal que ∀x, x ′ ∈ Ω temos x ≼ x ′ ou x ′ ≼ x. Um conjunto (totalmente)
ordenado é um par (Ω, ≼), um conjunto não vazio Ω munido de uma ordem ≼.
Seja (Ω, ≼) um conjunto parcialmente ordenado. Uma cadeia em Ω é um subconjunto não vazio C ⊂ Ω tal que a
restrição de ≼ define uma ordem em C, i.e. tal que ∀c, c ′ ∈ C temos c ≼ c ′ ou c ′ ≼ c.
Sejam (Ω, ≼) um conjunto parcialmente ordenado e seja A ⊂ Ω um subconjunto não vazio. Um elemento s ∈ Ω é
dito um limite superior (inferior) de A se s ≼ a ∀a ∈ A (se a ≼ s ∀a ∈ A). Um elemento m ∈ A é dito elemento
maximal (minimal) de A se nenhum outro elemento de A é maior (menor) que m, ou seja se ∀a ∈ A m ≼ a (a ≼ m)
⇒ a = m.
Lema de Zorn. Seja Ω um conjunto não vazio e parcialmente ordenado por ≼, tal que toda cadeia C ⊂ Ω tem
limite superior (inferior). Então Ω contém um elemento maximal (minimal).