My title - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

12 TRANSITIVIDADE E ÓRBITAS DENSAS 79
Homeomorfismos transitivos. Existe uma noção mais fraca de transitividade, que só é significativa
para as transformações invertíveis. Um homeomorfismo f : X → X é um homeomorfismo
(topologicamente) transitivo se verifica uma das condições equivalentes:
i) para cada dois abertos não vazios U, V ⊂ X existe um tempo n ∈ Z tal que f n (U) ∩ V ≠ ∅,
ii) existe um ponto x ∈ X tal que O f (x) = X,
iii) existe um conjunto residual de pontos x ∈ X tais que O f (x) = X.
As implicações iii) ⇒ ii) ⇒ i) são obvias, pois, se a órbita completa de x é densa, passa pelo
menos uma vez por todos os abertos não vazios de X. Para provar que i) ⇒ iii), a primeira
observação é que a condição i) é equivalente a dizer que a órbita ∪ n∈Z f n (V ) de todo aberto não
vazio V é densa em X. Agora, seja (U i ) i∈N uma base enumerável da topologia de X . A família dos
∪ n∈Z f n (U i ) é uma família de abertos densos. A sua interseção enumerável R = ∩ i∈N ∪ n∈Z f n (U i )
é um conjunto residual, e um ponto x ∈ R tem uma trajetória completa que passa pelo menos uma
vez por cada um dos abertos U i , i.e. O f (x) = X.
Observe que f : X → X é um homeomorfismo transitivo sse f −1 é um homeomorfismo transitivo.
Um homeomorfismo transitivo pode não ser +transitivo, e, aliás, pode até não ter pontos
recorrentes e ter conjunto não-errante vazio, desde que X não seja compacto!
(transitivo ⇔ “dinamicamente conexo”) Mais interessante é observar que um homeomorfismo
f : X → X é um homeomorfismo transitivo sse X não contém uma reunião disjunta de dois
subconjuntos abertos invariantes e não vazios. A implicação ⇒ é trivial. Para provar a implicação
⇐ , observe que, se U, V ⊂ X são dois abertos não vazios, então ∪ n∈Z f n (U) e ∪ n∈Z f n (V ) são
abertos, invariantes e não vazios. Se não forem disjuntos, existem n, m ∈ Z tais que f n (U) ∩
f m (V ) ≠ ∅, o que implica f n−m (U) ∩ V ≠ ∅.
(transitivo ⇒ as funções contínuas invariantes são triviais) Se f : X → X é um homeomorfismo
transitivo, então toda função contínua ϕ : X → R invariante é constante. De fato, se ϕ não é
constante, então assume pelo menos dois valores, a < b. Logo existe c = (a + b) /2 tal que {ϕ < c}
e {ϕ > c} são invariantes, abertos, disjuntos, e não vazios, mas isto contradiz o resultado anterior.
Exercícios.
• Prove as implicações iii) ⇒ ii) ⇒ i) na definição de “transformação +transitiva”.
• Prove que, se f : X → X é +transitiva, então NW f = X.
• Prove que se f : X → X é +transitiva, então o conjunto Rec f
residual.
dos pontos recorrentes é
• Prove as implicações iii) ⇒ ii) ⇒ i) na definição de “homeomorfismo transitivo”.
• Prove que um homeomorfismo f : X → X é transitivo sse X não contém uma reunião
disjunta de dois subconjuntos abertos invariantes e não vazios.
• Prove que, se f : X → X é um homeomorfismo transitivo, então toda função contínua
ϕ : X → R invariante é constante.
• Dê exemplos de homeomorfismos f : X → X que sejam transitivos mas que não sejam
+transitivos.
Desafios.
• (transitivo e NW f = X ⇔ +transitivo) Mostre que um homeomorfismo f : X → X
é +transitivo sse é um homeomorfismo transitivo e o seu conjunto não-errante é X. A
implicação ⇐ é imediata ...
• Pode acontecer que uma transformação f : X → X seja topologicamente +transitiva mas
tenha uma iterada f n , com n > 1, que não é topologicamente +transitiva. Um exemplo
trivial é uma permutação de um espaço finito, pois alguma iterada é a identidade. Em geral,
se X é compacto, o que acontece é o seguinte: existe uma cobertura X = X 1 ∪ X 2 ∪ ... ∪ X k ,
onde k é um inteiro que divide n e os X i são subconjuntos compactos com interseções X i ∩X j