My title - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

12 TRANSITIVIDADE E ÓRBITAS DENSAS 78
12 Transitividade e órbitas densas
Na sua genial tentativa de justificar a termodinâmica a partir da hipótese molecular, Ludwig
Boltzmann fez a sua famosa ”hipótese ergódica”. Ele conjeturou que ”a superficie de energia
constante de um sistema de muitas partículas interagentes (um gas) é composta de uma única
órbita” e esta órbita ”passa em cada região da superficie um tempo assinptoticamente proporcional
ao volume da região”. A primeira parte da hipótese equivale a dizer que a ação do tempo no espaço
dos estados é ”transitiva”: para cada dois estados x e x ′ existe um tempo t tal que φ t (x) = x ′ .
Ora, se o tempo é Z, isto não pode acontecer, a não ser que X seja enumerável. Em realidade o
Boltzmann pensava no caso contínuo, onde o tempo é R, mas mesmo assim esta hipótese é falsa se
X tem dimensão maior de um e se a ação é suficientemente suave para evitar fenómenos patológicos
como curvas de Peano (e, aliás, as órbitas dos sistemas físicos são soluções de equações diferenciais,
logo curvas diferenciáveis). O que sim pode acontecer, é que o sistema admita órbitas densas, e que
estas sejam muitas. Este fenómeno, formalizado nas definições à seguir, é o correspetivo topológico
da ergodicidade, e o seu signficado é que o espaço dos estados é essencialmente um único pedaço.
A segunda parte da hipótese é de natureza probabílistica, e é formalizada na definição de medida
invariante ergódica.
12.1 Transitividade
Transformações transitivas. Seja X um espaço métrico completo e separável. Uma transformação
contínua f : X → X é (topologicamente) +transitiva se verifica uma das condições
equivalentes:
i) para cada dois abertos não vazios U, V ⊂ X existe um tempo n ≥ 0 tal que f n (U) ∩ V ≠ ∅,
ii) existe um ponto x ∈ X tal que ω f (x) = X,
iii) existe um conjunto residual de pontos x ∈ X tais que ω f (x) = X.
As implicações iii) ⇒ ii) ⇒ i) são obvias, pois se ω f (x) = X, então a trajetória de x passa uma
infinidade de vezes por todos os abertos não vazios de X. Para provar que i) ⇒ iii), a primeira
observação é que a condição i) é equivalente a dizer que, para todo aberto não vazio V , a sua
órbita ∪ n≥0 f −n (V ) é densa, e ainda mais, as suas órbitas ∪ n≥k f −n (V ) = ∪ n≥0 f −n ( f −k (V ) ) são
densas para todo k ≥ 0. Agora, seja (U i ) i∈N uma base enumerável da topologia de X . A família
dos ∪ n≥k f −n (U i ), com k ≥ 0 e i ≥ 1, é uma família de abertos densos em X. A sua interseção
enumerável R = ∩ i∈N ∩ k≥0 ∪ n≥k f −n (U i ) é um conjunto residual, e um ponto x ∈ R tem uma
trajetória que passa infinitas vezes por cada um dos abertos U i , i.e. ω f (x) = X.
Também, é facil de ver que i) implica que X não tem pontos isolados (desde que não tenha
cardinalidade finita, caso trivial em que X é composto por una única órbita). A ausência de pontos
isolados implica que, de fato, O + f (x)′ = X se x ∈ R.
( +transitivo ⇒ NW f = X) Se f : X → X é +transitiva, então o seu conjunto não-errante é
X, porque NW f contém os conjuntos ω-limite dos pontos de X.
( +transitivo ⇒ Rec f residual) Observe também que uma transformação +transitiva tem muitos
pontos recorrentes, de fato um conjunto residual, porque se ω f (x) = X então x ∈ ω f (x).