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11 RECORRÊNCIAS 76 Poincaré recurrence theorem (topologic version). Let f : X → X be a continuous transformation of a separable metrizable topological space X. The support of any invariant Borel probability measure µ is contained in the closure of the set of recurrent points, namely supp (µ) ⊂ Rec f . If, in particular, f admits an invariant measure µ which is diffuse (i.e. gives positive measure to any nonempty open set) then the set of recurrent points is dense in X, namely Rec f = X. Observe that if f is a homeomorphism, then the same applies to Rec f −1, and the support of any invariant Borel probability measure is contained in the closure of Rec f ∩Rec f −1. If you don’t like the above proof, here is another, perhaps more elemenary, of the last statement. Alternative proof. Assume that the continuous map f : X → X preserves a diffuse Borel probability measure µ. For each n ≥ 1, let R n = { x ∈ X s.t. ∃ k ≥ 1 s.t. d(f k (x), x) < 1/n } be the set of ”1/n-recurrent” points. Of course, Rec f = ∩ ∞ n=1R n . The sets R n are clearly open. To show that Rec f is dense we must show that each R n is, since then the Baire theorem implies that also their countable intersection is dense. So, take any nonempty ball B with diameter < 1/n. Its inverse images f −1 (B), f −2 (B), f −3 (B),... have all the same measure µ(B) > 0. Since µ(X) = 1, they cannot be disjoint. There follows that there exist k > 0 and n ≥ 0 such that f −(n+k) (B) ∩ f −n (B) ≠ 0, and this implies that B contains a 1/n-recurrent point (for a point x in the intersection has both images f n (x) and f n+k (x) = f k (f n (x)) in B, hence at distance < 1/n). Since B was arbitrary, this proves that each R n is dense, and Baire theorem implies that Rec f is dense too. Example. Rotations of the circle preserve the Lebesgue probability measure. Hence, almost any point x + Z is recurrent for the rotation R α : x + Z ↦→ x + α + Z. If α is rational this is trivial, since all points are periodic. When α is irrational, this says that for any ε > 0 there exist an infinity of times q ∈ N that d(x + Z, x + qα + Z) < ε hence for any ε > 0, there exist an infinity of rationals p/q such that |qα − p| < ε i.e. ∣ α − p q ∣ < ε q We know from continued factions that the estimate is indeed better, since ε/q may be substituited by 1/q 2 . 11.4 Conjunto não-errante Por volta dos anos trinta, George D. Birkhoff teve a ideia de dividir o espaço dos estados de um sistema dinâmico em duas classes de pontos com dinâmicas qualitativamente distintas. O ponto x é errante 26 se admite uma vizinhança disjunta de todas as suas iteradas, i.e. se existe um aberto U que contém x tal que U ∩ f n (U) = ∅ para todo tempo n ≥ 1. O ponto x não é errante se para toda vizinhança U de x existe um tempo n ≥ 1 tal que f n (U) ∩ U ≠ ∅. O conjunto não-errante NW f (do inglês “non-wandering set”) é o conjunto dos pontos x que não são errantes. A ideia informal é que conjunto não-errante é onde acontece a dinâmica interessante, enquanto o conjunto errante é o conjunto dos pontos que a dinâmica esquece. 26 A palavra grega por “errante”, ou seja, “vagabundo”, “que vagueia ao acaso”, era πλανητης, ou seja, planeta.
11 RECORRÊNCIAS 77 O conjunto não-errante NW f é fechado (o cojnunto dos pontos errantes é aberto quase por definição, pois, se x é errante, todo ponto duma sua vizinhança é errante) e +invariante. Contém os ω-limites de todos os pontos de X, assim como os pontos recorrentes. As inclusões são Per f ⊂ Lim f ⊂ NW f e Per f ⊂ Rec f ⊂ NW f Se f é um homeomorfismo, NW f , que é igual a NW f −1, é também invariante, e contém os ω- e α-limites de todos os pontos de X. ( X compacto ⇒ NW f ≠ ∅) Se X é compacto, então NW f ≠ ∅, porque todo ponto x ∈ X tem ω f (x) ≠ ∅ e porque Lim f ⊂ NW f . Exercícios. • Prove que o conjunto não-errante de um homeomorfismo é fechado, invariante e contém os ω- e α-limites de todos os pontos. • Mostre que, se f é um homeomorfismo, então NW f = NW f −1. • Dê exemplos que mostram que NW f pode ser vazio. • Mostre que Per f ⊂ Rec f ⊂ NW f ⊂ Rec ε f . Dê exemplos que mostram que as inclusões podem ser estrictas. • Mostre que Per f ⊂ Rec f ⊂ NW f e portanto Per f ⊂ Rec f ⊂ NW f . Mais dificil é arranjar exemplos que mostram que as inclusões podem ser estrictas. • Determine os conjuntos não errantes das transformações lineares do plano.
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