My title - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

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RECORRÊNCIAS 74
11 Recorrências
O objectivo da dinâmica topológica é a caracterização (topológica!) das possíveis histórias dos
pontos. Isso começa a ser interessante quando a órbita de x não é finita.
11.1 Comportamento assimptótico das órbitas infinitas: conjuntos ω e
α limite
A coisa mais simples que pode acontecer, é que a trajetória de x seja uma sucessão convergente, e
neste caso o seu limite é um ponto fixo.
As trajetórias podem não ser convergentes, mas pelo menos ter subsucessões convergentes. O
conjunto ω-limite de x é o conjunto dos pontos limites da trajetória de x, ou seja
ω f (x) = ∩ ∞ n=0∪ k≥n {f k (x)}
o conjunto dos pontos x ′ ∈ X tais que existe uma subsucessão n i → ∞ de tempos tal que f ni (x) →
x ′ quando i → ∞. Observe que, se a órbita de x não é finita, então ω f (x) = O + f (x)′ . O conjunto
ω f (x) é fechado e +invariante.
Lim f = ∪ x∈X ω f (x) denota o conjunto dos pontos ω-limites. Observe que, se x é periódico,
então ω f (x) é a sua órbita, e portanto
Per f ⊂ Lim f
Se f é invertível, o conjunto α-limite de x é definido por α f (x) = ω f −1(x), ou seja é o conjunto
dos pontos x ′ ∈ X tais que existe uma subsucessão n i → ∞ de tempos tal que f −ni (x) → x ′ quando
i → ∞. Neste caso, os conjuntos ω f (x) e α f (x) são fechados e invariantes. Lim f −1 = ∪ x∈X α f (x)
denota o conjunto dos pontos α-limites.
Estes conjuntos podem ser vazios. Por exemplo, ω f (x) = ∅ quer dizer que a trajetória de x
anda pelo espaço X sem voltar muitas vezes numas vizinhanzas dos pontos que já visitou, e isto
é possível desde que X não seja compacto. Se Lim f ±1 não forem vazios, têm a interpretação dos
conjuntos onde as trajetórias ”morrem” e ”nascem”, respetivamente (donde a notação ω e α).
( X compacto ⇒ ω f (x) ≠ ∅) Se X é compacto, então a trajetória (f n (x)) n∈N0
de todo ponto
x ∈ X admite subsucessões convergentes, e portanto ω f (x) ≠ ∅. Analogamente, se f é um
homeomorfismo, α f (x) ≠ ∅ para todo ponto x ∈ X. Em particular, os conjuntos Lim f ±1 não são
vazios.
Exercícios.
• Prove que ω f (x) é fechado e +invariante. Prove que, se f é um homeomorfismo, então ω f (x)
e α f (x) são fechados e invariantes.
• Dê exemplos que mostram que ω f (x) e α f (x) podem ser vazios.
• Mostre que Per f ⊂Lim f .
11.2 Pontos recorrentes
O ponto x é recorrente se x ∈ ω f (x). Observe que x é recorrente se, dada uma vizinhança arbitrária
B de x, existe um tempo n ≥ 1 tal que f n (x) ∈ B, ou seja se a trajetória de x volta a visitar toda
vizinhança de x. Isto implica que a trajetória de x passa infinitas vezes numa vizinhança arbitrária
de x. Rec f denota o conjunto dos pontos recurrentes de f.
Se f é um homeomorfismo, também tem interesse o conjunto Rec f −1, o conjunto dos pontos x
tais que x ∈ α f (x).
Um ponto periódico é recorrente, logo
Per f ⊂ Rec f