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1 INTRODUÇÃO 6 Regularidades probabilísticas. Muitos sistemas interessantes têm comportamento desordenado (por exemplo, as trajetórias podem ter dependência sensível das condições iniciais), e o estado inicial não pode ser determinado com precisão (quer por razões “a priori”, quer porque todo instrumento tem a sua sensibilidade). A descrição estatística é neste caso uma necessidade e até pode simplificar a vida. Pode acontecer que o comportamento da maioria das trajetórias é tão irregular que acaba por parecer regular num sentido probabilístico. Este era o cenário imaginado por Ludwig Boltzmann, na sua teoria cinética dos gases, para justificar as lei observadas da termodinâmica. O estudo das regularidades probabilísticas dos sistemas dinâmicos é dito “teoria ergódica”, em homenagem às intuições de Boltzmann, e nasceu nos anos trinta do século XX com os resultados de von Neumann, Birkhoff, Khinchin, Hopf, Kolmogorov... Em tempos mais recentes, matemáticos e físicos como Bowen, Ruelle, Sinai, descubriram ligações interessantes com a mecânica estatística de Maxwell e Gibbs... Previsões robustas. Um sistema dinâmico pode ser pensado como uma ”máquina” que pega numa condição inicial x e produz uma trajetória t ↦→ Φ t (x). O problema é decidir se uma pequena perturbação de Φ (uma incerteza nos parâmetro da lei física), digamos Φ ′ , produz trajetórias “comparáveis” com as trajetórias de Φ. Uma resposta que é particularmente apreciada pelos físicos consiste em formular resultados de “estabilidade”, que digam que uma “distância” entre Φ e Φ ′ suficientemente pequena não altera a estrutura das trajetórias. Isto levanta também a questão de decidir se certos fenómenos são típicos ou não no espaço das possíveis dinâmicas. A procura de sistemas “estruturalmente estáveis” desenvolveu-se a partir das ideias de Andronov e Pontryagin, nos anos trinta do século XX. A “hiperbolicidade” enquanto chave da estabilidade estrutural foi descoberta nos anos sessenta por Anosov, Smale, Sinai ..., ao desenvolver ideias geométricas precedentes de Hadamard, Hopf , Hedlund ... 1.4 Estratégia Para um matemático, um sistema dinâmico é uma ação G × X → X de um (semi)grupo “grande” (tal que seja possível dar um sentido à uma expressão do género “g → ∞”) G sobre um espaço X. Estudar um sistema dinâmico quer dizer comprender o espaço das órbitas G\X, ou melhor a maneira em que as diferentes órbitas Gx estão mergulhadas em X. A ênfase é no comportamento “assimptótico” das trajetórias t ↦→ g t x quando g t → ∞. Resulta que às vezes é possível fazer previsões interessantes esquecendo os “detalhes” da dinâmica, desde que X tenha alguma estrutura (uma topologia, uma métrica, uma estrutura diferenciável, simetrias, uma medida de probabilidades, ...) que de alguma maneira precisa é respeitada pela evolução temporal, e que a lei de evolução tenha certas propriedades qualitativas. Este é o tema da teoria dos sistemas dinâmicos. A estratégia é selecionar modelos simples e tratáveis, possivelmente “descobrir” classes de sistemas com comportamento compreensível, na esperança de que sistemas “reais” tenham comportamentos comparáveis. Até esquecendo as motivações físicas, as ideias da teoria dos sistemas dinâmicos fornecem outra maneira de olhar certas estruturas matemáticas, e produzem resultados interessantes em análise, geometria, teoria de grupos, teoria de números, etc...
2 ITERATION/RECURSION 7 2 Iteration/recursion 2.1 Exponential growth/decay Geometric progression. Uma progressão geométrica de “razão” λ é uma sequência x 0 = a x 1 = aλ x 2 = aλ 2 ... x n = aλ n ... obtida do termo inicial x 0 = a usando a recursão x n+1 = λx n . Geometric series. A identidade (1 + λ + λ 2 + λ 3 + ... + λ n )(λ − 1) = λ n+1 − 1 mostra que, se λ ≠ 1, a soma dos primeiros n + 1 termos da progressão geométrica (com a = 1) é 1 + λ + λ 2 + λ 3 + ... + λ n = λn+1 − 1 λ − 1 Em particular, quando |λ| < 1, a série geométrica ∑ ∞ n=0 λn é convergente, e a sua soma é 1 + λ + λ 2 + λ 3 + ... + λ n + ... = 1 1 − λ . The dichotomy paradox. Using the above formula, you may convince Zeno that 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 1 . Decimal expansions. Also, you may convince yourself that and learn how to recognize rational numbers as from their periodic expansion. 0.99999 · · · = 9 10 + 9 100 + 9 1000 + 9 10000 + · · · = 1 0.33333 . . . or 1.285714285714 . . . Duplicação de células. As experiências mostram que a população de uma colónia de bactérias, num período de tempo em que podemos considerar ilimitado o nutrimento e desprezáveis as toxinas produzidas, duplica-se em cada hora. • Se a população inicial é de 1000 células, determine a população passadas 2, 3, 10 horas. • Quantas horas devo esperar para ver 1024 bactérias a partir de uma única célula inicial • Escreva uma fórmula para p n , a população de bactérias passadas n horas, dada uma população inicial p 0 . Invenção do xadrez. Dizem que Sissa inventou o jogo do xadrez e o ofreceu ao rei de Pérsia. Ao rei, que o convidou a escolher uma recompensa, pediu um grão de arroz para o primeiro quadrado do tabuleiro, o dobro, ou seja, dois grãos, para o segundo quadrado, o dobro, ou seja, quatro grãos, pelo terceiro quadrado, e assim a seguir até o último dos quadrados do tabuleiro. • Quanto grãos de arroz o rei teve que pagar • Se 1 Kg de arroz contém à volta de 30000 grãos, quantas toneladas de arroz foram necessárias ao rei para pagar o seu jogo
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