My title - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

9 TRANSVERSALIDADE E BIFURCAÇÕES 62
9.2 Bifurcações
Os pontos fixos não transversais não são persistentes, em presença de perturbações genéricas podem
desaparecer ou mudar de natureza. Este fenómeno é chamado bifurcação. A ideia da teoria das
bifurcações é tratar famílias de transformações f λ definidas numa vizinhança de um ponto fixo, e
descrever as possíveis mudanças da dinâmica ao variar o parâmetro λ.
Considere a família de transformações
f λ (x) = x + x 2 − λ
definidas na reta real. A origem é um ponto fixo não transversal de f 0 . Se λ ≠ 0 é pequeno, então
f λ tem dois pontos fixos ± √ λ, um repulsivo e outro atrativo, quando λ > 0, ou nenhum quando
λ < 0. A família
f λ (x) = x + x 3 + λx
mostra um comportamento diferente.
O problema é decidir quais fenomenos são “genéricos”, e possívelmente “estáveis” num sentido
a precisar. Admitindo a existência de um número suficiente de derivadas parciáis contínuas, uma
família arbitrária de transformações tais que a origem seja um ponto fixo não transversal de f 0 é
da forma
f λ (x) = a λ + b λ x + c λ x 2 + ...
= ( a ′ λ + a ′′ λ 2 + ... ) + ( 1 + b ′ λ + b ′′ λ 2 + ... ) x + ( c + c ′ λ + c ′′ λ 2 + ... ) x 2 + ...
O caso genérico é quando c ≠ 0 (ou seja f 0 é da forma x + cx 2 + ...) e uma perturbação genérica
tem a ′ ≠ 0 (ou seja o termo constante de f λ é diferente de zero desde que λ ≠ 0). Não é dificil
convercer-se que o comportamento qualitativo desta família é o mesmo da família x + x 2 − λ: uma
pequena perturbação de f 0 pode destruir o ponto fixo, numa direção, ou criar dois novos pontos
fixos, na outra direção. Enuncie este resultado, e dê uma demonstração formal. Observe que
procurar raizes da equação f λ (x) = x, em função de λ, é equivalente a definir funções λ ↦→ x (λ)
que verifiquem G (λ, x) = f λ (x)−x = 0, e a este problema responde o teorema da função implícita.
9.3 Duplicação do período e cascata de Feigenbaum
Também interessante é o caso de uma família f λ de transformações do intervalo tal que f 0 tenha um
ponto fixo em 0 com f ′ 0 (0) = −1. Observe que este ponto fixo é transversal, logo persistente. Por
outro lado, (−1) 2 = 1, e portanto a derivada de f 2 0 em 0 é igual a ( f 2 0
) ′
(0) = 1. Isto diz que 0 não
é transversal em quanto ponto fixo de f 2 0 . Uma perturbação de f 0 pode produzir pontos periódicos
de periodo 2, em proximidade do ponto fixo persistente 0. Para ver um exemplo, considere o caso
da família
f λ (x) = −x + x 2 + λx
Este tipo de bifurcação é dito “duplicação do período”. Ao fazer simulações num computador,
Mitchell J. Feigenbaum descubriu nos anos ’70 que certas famílias de transformações produzem
uma ”cascata” de duplicações do período, no sentido em que existe uma sucessão λ 1 < λ 2 < ... <
λ n < λ n+1 ... de valores do parâmetro λ tal que, ao passar λ n+1 nascem órbita de período 2 n+1
em proximidade das órbitas de período 2 n criadas pelo valor anterior λ n . Este fenómeno pode ser
facilmente observado com a ajuda de um computador. Aliás, parece que aconteça para toda família
em que podemos pensar, desde que acertamos o ponto certo onde centrar uma lupa e ve-lo. Ainda
mais misterioso é o fato, também observado por Feigenbaum, de que o limite λ ∞ = lim n→∞ λ n
parece existir, é exponencial, i.e. |λ ∞ − λ n | ≃const×δ −n onde
λ n − λ n−1
δ = lim
n→∞ λ n+1 − λ n
e que δ ≃ 4.669201609102990671853... independentemente da família f λ ! O misterio só foi explicado
mais tarde por Lanford, Epstein, Dennis Sullivan...