My title - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

9 TRANSVERSALIDADE E BIFURCAÇÕES 61
9 Transversalidade e bifurcações
9.1 Transversalidade e persistência dos pontos fixos
Transversalidade. Sejam f : I → R uma transformação de classe C 1 definida num intervalo
I ⊂ R, e p um ponto fixo de f. Se f ′ (p) ≠ 1, então o ponto fixo p é “isolado”, ou seja, é o único
ponto fixo de f numa vizinhança B de p. De fato, um ponto fixo é uma solução da equação
F (x) = f (x) − x = 0
Se f ′ (p) ≠ 1 então F ′ (p) ≠ 0. O teorema da função inversa diz então que F é invertível numa
vizinhança B de p, e isso implica que p é o único zero de F em B. Os pontos fixos que satisfazem
a condição f ′ (p) ≠ 1 são ditos transversais, porque a tagente ao gráfico graph (f) =
{(x, y) t.q. y = f (x)} de f em p é transversal ao gráfico da função identidade, a reta {(x, y) t.q. y = x}.
Peristência. A condição f ′ (p) ≠ 1 é uma condição aberta, e isto faz suspeitar que também seja
estável por pequenas perturbações de f.
Teorema Sejam f : I → R uma transformação de classe C 1 , e p um ponto fixo transversal de f.
Toda transformação g : I → R suficientemente C 1 -próxima de f tem um, e um único, ponto fixo,
também transversal, numa vizinhança de p.
dem. Seja g = f − h uma perturbação de f, com ‖h‖ C 1 < δ. Um ponto fixo de g é uma solução
da equação g (x) − x = 0, ou seja da equação
F (x) = h (x)
onde definimos F (x) = f (x) − x. Sabemos que F é invertível numa vizinhança B ′ de p, logo um
ponto fixo de g em B ′ é uma solução de x = ( F −1 ◦ h ) (x), ou seja um ponto fixo de F −1 ◦ h. A
estratégia é provar que F −1 ◦h é uma contração numa vizinhança de p. Se a vizinhança B = B r (p)
é suficientemente pequena, a inversa de F tem derivada limitada, por exemplo ∣ ( F −1) ∣
′ ∣∣ (x) < λ
em F (B). Se δ é suficientemente pequeno, a derivada ∣ ( F −1 ◦ h ) ∣
′ ∣∣ (x) < λ · δ é uniformemente
< 1 em B, e portanto F −1 ◦ h tem boas chances de ser uma contração. O que falta verificar é
que a imagem ( F −1 ◦ h ) (B) seja contida em B. Ora, dado x ∈ B, a desigualdade do triângulo, o
teorema do valor médio e a regra da cadeia, implicam que
d (( F −1 ◦ h ) (x) , p ) ≤ d ( F −1 (h (x)) , F −1 h (p) ) + d ( F −1 (h (p)) , p )
≤ d ( F −1 (h (x)) , F −1 h (p) ) + d ( F −1 (h (p)) , F −1 (0) )
≤
λ · δ · r + λ · δ
(onde utilizamos o fato de que p é um ponto fixo de f) e esta quantidade é < r se δ é suficientemente
pequeno. O princípio das contrações enfim implica que um ponto fixo p ′ ∈ B de g existe e é único.
A derivada de g neste ponto está δ-próxima da derivada de f em p, e isto implica a transversalidade
de p ′ se δ é pequeno.
Exercícios.
• Seja f : R → R uma transformação de classe C 1 , e seja p um ponto periódico de período n
tal que (f n ) ′ (p) ≠ 1. Toda transformação g suficientemente C 1 -próxima de f tem um ponto
periódico de período n próximo de p. (Repita a demonstração anterior com f n em vez de f)
• Sejam f : V → R n uma transformação de classe C 1 definida num aberto V ⊂ R n , e p um
ponto fixo de f. A transversalidade de p se traduz na condição de que o operador f ′ (p) não
tenha 1 como autovalor. Prove que se o operador f ′ (p) não tem 1 como autovalor, então o
ponto fixo p é ”isolado”, existe uma vizinhança B de x tal que x é o único ponto fixo de f
em B. Enuncie e prove um resultado de ”persistência” análogo ao caso da reta.