My title - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

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LINEARIZAÇÃO 60
ao variar λ e θ. Escreva a transformação em coordenadas polares (r, ϕ), e observe que as curvas
r · λ ϕ/θ = k são invariantes. Enfim, trate o caso geral, e discuta quando duas transformações
lineares são topologicamente conjugadas.
Seja agora T : R n → R n uma transformação linear arbitrária ...
Linearização e hiperbolicidade. Seja f : V → R n uma transformação de classe C 1 definida
num aberto V ⊂ R n , e seja p ∈ V um ponto fixo de f. A derivada f ′ (p) é a transformação linear
L : R n → R n que “melhor aproxima” f (x) − p numa vizinhança de p. Isto sugere que tal vez seja
possível que a dinâmica de f numa vizinhança B de p seja “igual” à dinâmica de L numa vizinhança
A da origem. Tecnicamente, o problema é decidir se a restrição f | B : B → B ′ é topologicamente
conjugada à restrição L | A : A → A ′ , por meio de uma “conjugação local” h : B ∪ B ′ → A ∪ A ′ .
Em geral, a resposta é negativa. É possível dizer algo quando p é um ponto fixo hiperbólico, ou
seja quando L não tem valores próprios λ com módulo |λ| = 1. O resultado importante é o
Teorema de Grobman-Hartman Um difeomorfismo local f : V → R n com um ponto fixo
hiperbólico p é localmente topologicamente conjugado à sua parte linear f ′ (p).