My title - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

1 INTRODUÇÃO 6
Regularidades probabilísticas. Muitos sistemas interessantes têm comportamento desordenado
(por exemplo, as trajetórias podem ter dependência sensível das condições iniciais), e o estado
inicial não pode ser determinado com precisão (quer por razões “a priori”, quer porque todo instrumento
tem a sua sensibilidade). A descrição estatística é neste caso uma necessidade e até pode
simplificar a vida. Pode acontecer que o comportamento da maioria das trajetórias é tão irregular
que acaba por parecer regular num sentido probabilístico. Este era o cenário imaginado por Ludwig
Boltzmann, na sua teoria cinética dos gases, para justificar as lei observadas da termodinâmica.
O estudo das regularidades probabilísticas dos sistemas dinâmicos é dito “teoria ergódica”, em
homenagem às intuições de Boltzmann, e nasceu nos anos trinta do século XX com os resultados
de von Neumann, Birkhoff, Khinchin, Hopf, Kolmogorov... Em tempos mais recentes, matemáticos
e físicos como Bowen, Ruelle, Sinai, descubriram ligações interessantes com a mecânica estatística
de Maxwell e Gibbs...
Previsões robustas. Um sistema dinâmico pode ser pensado como uma ”máquina” que pega
numa condição inicial x e produz uma trajetória t ↦→ Φ t (x). O problema é decidir se uma pequena
perturbação de Φ (uma incerteza nos parâmetro da lei física), digamos Φ ′ , produz trajetórias
“comparáveis” com as trajetórias de Φ. Uma resposta que é particularmente apreciada pelos
físicos consiste em formular resultados de “estabilidade”, que digam que uma “distância” entre
Φ e Φ ′ suficientemente pequena não altera a estrutura das trajetórias. Isto levanta também a
questão de decidir se certos fenómenos são típicos ou não no espaço das possíveis dinâmicas. A
procura de sistemas “estruturalmente estáveis” desenvolveu-se a partir das ideias de Andronov e
Pontryagin, nos anos trinta do século XX. A “hiperbolicidade” enquanto chave da estabilidade
estrutural foi descoberta nos anos sessenta por Anosov, Smale, Sinai ..., ao desenvolver ideias
geométricas precedentes de Hadamard, Hopf , Hedlund ...
1.4 Estratégia
Para um matemático, um sistema dinâmico é uma ação G × X → X de um (semi)grupo “grande”
(tal que seja possível dar um sentido à uma expressão do género “g → ∞”) G sobre um espaço
X. Estudar um sistema dinâmico quer dizer comprender o espaço das órbitas G\X, ou melhor
a maneira em que as diferentes órbitas Gx estão mergulhadas em X. A ênfase é no comportamento
“assimptótico” das trajetórias t ↦→ g t x quando g t → ∞. Resulta que às vezes é possível
fazer previsões interessantes esquecendo os “detalhes” da dinâmica, desde que X tenha alguma
estrutura (uma topologia, uma métrica, uma estrutura diferenciável, simetrias, uma medida de
probabilidades, ...) que de alguma maneira precisa é respeitada pela evolução temporal, e que a lei
de evolução tenha certas propriedades qualitativas. Este é o tema da teoria dos sistemas dinâmicos.
A estratégia é selecionar modelos simples e tratáveis, possivelmente “descobrir” classes de sistemas
com comportamento compreensível, na esperança de que sistemas “reais” tenham comportamentos
comparáveis. Até esquecendo as motivações físicas, as ideias da teoria dos sistemas dinâmicos fornecem
outra maneira de olhar certas estruturas matemáticas, e produzem resultados interessantes
em análise, geometria, teoria de grupos, teoria de números, etc...