My title - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

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LINEARIZAÇÃO 59
8 Linearização
8.1 Linearização conforme
Linearização conforme. Seja f : C → C uma função racional definida na esfera de Riemann
C = C ∪ {∞}. Cada ponto fixo p de f tem uma sua bacia de actração B p . A procura de metodos
rápidos para calcular iteradas, em 1871 E. Schrœder introduziu a ideia de procurar conjugações
conformes da restrição f ∣ Bp com funções racionais mais simples, do género g : z ↦→ λz , numa
vizinhança B da origem. O método consiste em resolver a equação funcional h◦f ∣ Bp = g ◦h, onde
h : B p → B é uma função analítica. E. Schrœder, G. Kœnig e J.H. Poincaré trataram o problema
com |λ| ≠ 1, e depois Carl S. Siegel resolveu o caso |λ| = 1 por volta de 1940.
Koenigs linearization theorem. Let z 0 be a fixed point of f with multiplier f ′ (z 0 ) = λ such
that |λ| ≠ 0, 1. Then there exists a conformal map φ, unique up to a non-zero factor, from a
neighborhood of z 0 onto a neighborhood of 0 such that φ ◦ f = λ · φ.
Proof. We assume that z 0 is attracting, i.e. |λ| < 1, since the repelling case follows from
considering the local inverse of f. Also, after conjugation, we can assume that z 0 = 0, hence the
map has the form f(z) = λz + a 2 z 2 + ....
Now define φ n (z) = f n (z)/λ n . There exists a δ > 0 and a constant c < |λ| < 1 such that for
|z| < δ
|φ n+1 (z) − φ n (z)| ≤ k · (c/|λ|) n
for some k > 0. Hence the sequence of holomorphic functions φ n converges uniformly in a small
ball around 0. The functional equation φ ◦ f = λ · φ follows immediatly from its definition.
Comparing coefficients it is easy to see that any conjugation of z ↦→ λz to itself is a constant
multiple of the identity, as long as |λ| ≠ 0, 1. Uniqueness follows.
Böttcher theorem
Let z 0 be a superattracting fixed point of f, where
f(z) = z 0 + a p (z − z 0 ) p + ...
with a p ≠ 0 and p ≥ 2. Then there exists a conformal map φ, unique up to multiplication by a
(p − 1)-root of unity, from a neighborhood of z 0 onto a neighborhood of 0 such that φ ◦ f = φ p .
Idea of the proof. We can assume that z 0 = 0 and that a p = 1. As in Koenigs proof, we look
for the conjugation as a limit af the functions
φ n (z) = f n (z) p−n .
It can be shown that the φ n converge uniformly in some sufficiently small ball around 0, and the
functional equation follows from the definition. Uniqueness, up to a (p − 1)-root of unity, can be
checked comparing power series.
8.2 Hiperbolicidade e linearização
Hiperbolicidade. As transformações lineares dos espaços euclidianos têm dinâmicas simples,
e fornecem modelos para o comportamento de uma transformação diferenciável numa vizinhança
de um ponto fixo. Um bom exercício é procurar entender a dinâmica de uma transformação linear
do plano T : R 2 → R 2 , definida por uma matriz real 2 × 2. A ideia é esboçar o retrato de
fase da transformação, ou seja descrever algumas trajetórias típicas, pelo menos uma por cada
comportamento possível. Começe por estudar uma transformação diagonalizável
( )
λ 0
T =
0 µ
e reparar as diferenças no comportamento qualitativo das trajetórias ao variar os autovalores λ e
µ. Ajuda observar que as curvas x log µ = k · y log λ são invariantes. Depois, estude o caso
( )
cos θ sin θ
T = λ ·
− sin θ cos θ