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7 OSCILLATIONS AND CYCLES 58 Atractor de Lorenz.
8 LINEARIZAÇÃO 59 8 Linearização 8.1 Linearização conforme Linearização conforme. Seja f : C → C uma função racional definida na esfera de Riemann C = C ∪ {∞}. Cada ponto fixo p de f tem uma sua bacia de actração B p . A procura de metodos rápidos para calcular iteradas, em 1871 E. Schrœder introduziu a ideia de procurar conjugações conformes da restrição f ∣ Bp com funções racionais mais simples, do género g : z ↦→ λz , numa vizinhança B da origem. O método consiste em resolver a equação funcional h◦f ∣ Bp = g ◦h, onde h : B p → B é uma função analítica. E. Schrœder, G. Kœnig e J.H. Poincaré trataram o problema com |λ| ≠ 1, e depois Carl S. Siegel resolveu o caso |λ| = 1 por volta de 1940. Koenigs linearization theorem. Let z 0 be a fixed point of f with multiplier f ′ (z 0 ) = λ such that |λ| ≠ 0, 1. Then there exists a conformal map φ, unique up to a non-zero factor, from a neighborhood of z 0 onto a neighborhood of 0 such that φ ◦ f = λ · φ. Proof. We assume that z 0 is attracting, i.e. |λ| < 1, since the repelling case follows from considering the local inverse of f. Also, after conjugation, we can assume that z 0 = 0, hence the map has the form f(z) = λz + a 2 z 2 + .... Now define φ n (z) = f n (z)/λ n . There exists a δ > 0 and a constant c < |λ| < 1 such that for |z| < δ |φ n+1 (z) − φ n (z)| ≤ k · (c/|λ|) n for some k > 0. Hence the sequence of holomorphic functions φ n converges uniformly in a small ball around 0. The functional equation φ ◦ f = λ · φ follows immediatly from its definition. Comparing coefficients it is easy to see that any conjugation of z ↦→ λz to itself is a constant multiple of the identity, as long as |λ| ≠ 0, 1. Uniqueness follows. Böttcher theorem Let z 0 be a superattracting fixed point of f, where f(z) = z 0 + a p (z − z 0 ) p + ... with a p ≠ 0 and p ≥ 2. Then there exists a conformal map φ, unique up to multiplication by a (p − 1)-root of unity, from a neighborhood of z 0 onto a neighborhood of 0 such that φ ◦ f = φ p . Idea of the proof. We can assume that z 0 = 0 and that a p = 1. As in Koenigs proof, we look for the conjugation as a limit af the functions φ n (z) = f n (z) p−n . It can be shown that the φ n converge uniformly in some sufficiently small ball around 0, and the functional equation follows from the definition. Uniqueness, up to a (p − 1)-root of unity, can be checked comparing power series. 8.2 Hiperbolicidade e linearização Hiperbolicidade. As transformações lineares dos espaços euclidianos têm dinâmicas simples, e fornecem modelos para o comportamento de uma transformação diferenciável numa vizinhança de um ponto fixo. Um bom exercício é procurar entender a dinâmica de uma transformação linear do plano T : R 2 → R 2 , definida por uma matriz real 2 × 2. A ideia é esboçar o retrato de fase da transformação, ou seja descrever algumas trajetórias típicas, pelo menos uma por cada comportamento possível. Começe por estudar uma transformação diagonalizável ( ) λ 0 T = 0 µ e reparar as diferenças no comportamento qualitativo das trajetórias ao variar os autovalores λ e µ. Ajuda observar que as curvas x log µ = k · y log λ são invariantes. Depois, estude o caso ( ) cos θ sin θ T = λ · − sin θ cos θ
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