My title - Departamento de Matemática da Universidade do Minho
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7 OSCILLATIONS AND CYCLES 56 Retrato de fase e trajectórias do oscilador de van der Pol. Lotka-Volterra. Considere o sistema de Lotka-Volterra ẋ = ax − bxy ẏ = −cy + dxy Foi proposto por Vito Volterra 21 para modelar a competição entre x presas e y predadores, e por Alfred J. Lotka 22 para modelar o comportamento cíclico de certas reacções químicas, como o esquema abstracto A + X → 2X X + Y → 2Y Y → B A função H(x, y) = dx + by − c log x − a log y d é uma constante do movimento, ou seja, dtH(x(t), y(t)) = 0. Deduza que as órbitas do sistema estão contidas nas curvas de nível de H(x, y). Retrato de fase do sistema de Lotka-Volterra. Brusselator. O Brusselator é um modelo autocatalítico proposto por Ilya Prigogine e colaboradores 23 que consiste na reacção abstracta A → X B + X → Y + C 2X + Y → 3X X → D Simule o sistema é ẋ = α − (β + 1)x + x 2 y ẏ = βx − x 2 y 21 Vito Volterra, Variazioni e fluttuazioni del numero d’individui in specie di animali conviventi, Mem. Acad. Lincei 2 (1926), 31-113. Vito Volterra, Leçons sur la Théorie Mathématique de la Lutte pour la Vie, Paris 1931. 22 Alfred J. Lotka, J. Amer. Chem. Soc 27 (1920), 1595. Alfred J. Lotka, Elements of physical biology, Williams & Wilkins Co. 1925. 23 I. Prigogine and R. Lefever, Symmetry breaking instabilities in dissipative systems, J. Chem. Phys. 48 (1968), 1655-1700. P. Glansdorff and I. Prigogine, Thermodynamic theory of structure, stability and fluctuations, Wiley, New York 1971. G. Nicolis and I. Prigogine, Self-organization in non-equilibrium chemical systems, Wiley, New York 1977.
7 OSCILLATIONS AND CYCLES 57 para as concentrações das espécies catalíticas X e Y , obtido quando as concentrações [A] ∼ α e [B] ∼ β são mantidas constantes. Simule o sistema ẋ = α − (b + 1)x + x 2 y ẏ = bx − x 2 y ḃ = −bx + δ para as concentrações de X, Y e B, obtido quando a concentração [A] ∼ α é mantida constante e B é injectado a uma velocidade constante v ∼ δ. Rerato de fase do Brusselator. Oscilador bioquímico de Goodwin Um modelo de interações proteinas-mRNA proposto por Goodwin 24 é Ṁ = 1 1+P − α P ˙ = M − β onde M e P denotam as concentrações relativas de mRNA e proteina, respectivamente. 7.5 Weather report Retrato de fase do sistema de Goodwin. Atractor de Lorenz Considere o sistema de Lorenz 25 ẋ = σ(y − x) ẏ = x(ρ − z) − y ż = xy − βz • Analize o comportamento assimptótico das trajectórias ao variar os parâmetros σ, ρ e β. • Observe o comportamento das trajectórias quando σ ≃ 10, ρ ≃ 28 e β ≃ 8/3. 24 B.C. Goodwin, Temporal organization in cells, Academic Press, London/New York 1963. B.C. Goodwin, Oscillatory behaviour in enzymatic control processes, Adv. Enzyme Regul. 3 (1965), 425-438. 25 E.N. Lorenz, Deterministic nonperiodic flow, J. Atmspheric Science 20 (1963), 130-141.
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Retrato <strong>de</strong> fase e trajectórias <strong>do</strong> oscila<strong>do</strong>r <strong>de</strong> van <strong>de</strong>r Pol.<br />
Lotka-Volterra.<br />
Consi<strong>de</strong>re o sistema <strong>de</strong> Lotka-Volterra<br />
ẋ = ax − bxy<br />
ẏ = −cy + dxy<br />
Foi proposto por Vito Volterra 21 para mo<strong>de</strong>lar a competição entre x presas e y pre<strong>da</strong><strong>do</strong>res, e<br />
por Alfred J. Lotka 22 para mo<strong>de</strong>lar o comportamento cíclico <strong>de</strong> certas reacções químicas, como o<br />
esquema abstracto<br />
A + X → 2X X + Y → 2Y Y → B<br />
A função<br />
H(x, y) = dx + by − c log x − a log y<br />
d<br />
é uma constante <strong>do</strong> movimento, ou seja,<br />
dtH(x(t), y(t)) = 0. Deduza que as órbitas <strong>do</strong> sistema<br />
estão conti<strong>da</strong>s nas curvas <strong>de</strong> nível <strong>de</strong> H(x, y).<br />
Retrato <strong>de</strong> fase <strong>do</strong> sistema <strong>de</strong> Lotka-Volterra.<br />
Brusselator. O Brusselator é um mo<strong>de</strong>lo autocatalítico proposto por Ilya Prigogine e colabora<strong>do</strong>res<br />
23 que consiste na reacção abstracta<br />
A → X B + X → Y + C 2X + Y → 3X X → D<br />
Simule o sistema é<br />
ẋ = α − (β + 1)x + x 2 y<br />
ẏ = βx − x 2 y<br />
21 Vito Volterra, Variazioni e fluttuazioni <strong>de</strong>l numero d’individui in specie di animali conviventi, Mem. Acad.<br />
Lincei 2 (1926), 31-113. Vito Volterra, Leçons sur la Théorie Mathématique <strong>de</strong> la Lutte pour la Vie, Paris 1931.<br />
22 Alfred J. Lotka, J. Amer. Chem. Soc 27 (1920), 1595. Alfred J. Lotka, Elements of physical biology, Williams<br />
& Wilkins Co. 1925.<br />
23 I. Prigogine and R. Lefever, Symmetry breaking instabilities in dissipative systems, J. Chem. Phys. 48 (1968),<br />
1655-1700. P. Glans<strong>do</strong>rff and I. Prigogine, Thermodynamic theory of structure, stability and fluctuations, Wiley,<br />
New York 1971. G. Nicolis and I. Prigogine, Self-organization in non-equilibrium chemical systems, Wiley, New<br />
York 1977.
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