My title - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

1 INTRODUÇÃO 5
Hidrodinâmica. O espaço dos estados é um espaço de funções com um certo número de derivadas
parciais contínuas, por exemplo C ( k R 3 , R ) . Uma configuração, ou “campo”, é uma função
q ↦→ u (q) e representa a “densidade macroscópica” de certos observáveis microscópicos (número
de partículas, energia, pressão, ...). Uma equação diferencial fenomenológica descreve a evolução
do campo. Por exemplo, a propagação do calor é suposta seguir a equação
∂
∂t u = σ∆u
onde ∆ é o operador de Laplace-Beltrami e σ é um coeficiente que determina a velocidade de
propagação. O operador diferencial ∆ gera o semigrupo de operadores e tσ∆ : C k ( R 3 , R ) →
C k ( R 3 , R ) .
1.3 Problemas físicos e pequena história
O objetivo dos físicos é fazer previsões: querem saber o que acontece a um certo ponto x, ou melhor
a um certo observável ϕ, passado um tempo t, e possivelmente dizer o que acontece quando t é
grande. Eis uma lista, não exaustiva, de problemas fisicamente relevantes.
Calcular trajetórias. Resolver o “problema de Cauchy”: dada uma condição inicial x, o
estado do sistema no presente, determinar os estados futuros Φ t (x) com t ≥ 0. No século XVII
o Newton inventou o seu “methodus fluxionum” (o moderno cálculo diferencial e integral) para
resolver as próprias equações e assim calcular as trajetórias dos planetas, dando uma explicação
às leis de Kepler ...
Regularidades/periodicidades. Decidir se o sistema tem trajetórias regulares, no sentido de
“previsíveis”. As mais previsíveis são as trajetórias periódicas, que satisfazem Φ T (x) = x para
algum tempo T dito período, e que portanto regressam a x em cada tempo múltiplo de T (a própria
história do pensamento científico dos homens começou da observação das periodicidades dos astros,
dando origem a cosmogonias e matemáticas em quase toda esquina do planeta). Decidir se as
eventuais trajetórias regulares são observáveis, ou seja se uma pequena perturbação da condição
inicial x ou da lei Φ ainda produz uma trajetória próxima da trajetória regular, ou se estraga
tudo. A procura de órbitas periódicas e a teoria das perturbações foi um dos temas favoritos dos
físicos matemáticos do século XIX, particularmente interessados aos problemas da mecânica celeste.
Nos anos cinquenta do século XX, Kolmogorov, e depois Arnold e Moser, provaram o resultado
espetacular de que muitos sistemas hamiltonianos têm muitas órbitas “quase-periódicas”.
Descrição qualitativa. Determinar o comportamento qualitativo da “maioria” das trajetórias.
Acontece que, se o sistema não é extremamente simples (como um sistema kepleriano, uma partícula
em um campo magnético constante, ...), é praticamente impossível “calcular” as trajectórias, embora
possa ser possível provar a “existência”. Os físicos devem ficar satisfeitos com uma descrição
“qualitativa” das órbitas possíveis. No final do século XIX, Henri Poincaré mostrou que é possível
fazer afirmações interessantes sobre o comportamento qualitativo das trajetórias utilizando informações
fracas sobre a lei de evolução. O resultado mais espetacular é o seu famoso “teorema
de recorrência”. Outro exemplo é a classificação dos homeomorfismos do círculo, também devida
a Poincaré e depois estudada por Denjoy.
Problemas numéricos. Embora seja geralmente impossível calcular trajetórias, é possivel obter
trajetórias aproximadas (por exemplo, hoje em dia, utilizando um computador que ”resolve”
equações diferenciais, mas lembre que os astrónomos calculam “efemérides” e “calendários” desde
milénios!). Um esquema muito simplificado do cálculo numérico é assim. Dada uma condição inicial
x e um “passo” τ, obtemos uma aproximação Φ ′ τ (x) de Φ τ (x) com um erro que possivelmente
sabemos estimar, por exemplo limitado por ε. A seguir, utilizamos o nosso valor inicial Φ ′ τ (x) para
estimar Φ 2τ (x), assim produzindo Φ ′ 2τ (x), supostamente a distância inferior a ε de Φ τ (Φ ′ τ (x)),
mas geralmente a distância ainda maior de Φ 2τ (x)... O problema é decidir se, quando n é grande,
a nossa conjetura Φ ′ nτ (x) ainda tem alguma coisa a ver com o verdadeiro Φ nτ (x).