My title - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

6 FLOWS 45
which undergoes a catastrophe (infinite population) in finite time!
Um modelo mais realista da dinâmica de uma população num meio ambiente limitado é a
equação logística 12
Ṅ = λN(1 − N/M)
onde λ > 0 e a constante M > 0 é a população máxima suportada pelo meio ambiente. Observe
que Ṅ ≃ λN se N ≪ M, e que Ṅ → 0 quando N → M. A população relativa x(t) = N(t)/M
satisfaz a equação logística “adimensional”
ẋ = λx(1 − x) .
Here we see two equilibria: the trivial equilibrium x(t) = 0 and the maximum allowed polpulation
x(t) = 1. The generic solution with initial condition 0 < x(0) < 1 is
1
x(t) = ( ) ,
1
1 +
x 0
− 1 e −λt
Exponential growth, super-exponential growth and logistic model.
6.4 Linear systems
Linear systems and exponential.
Consider a linear system
ẋ = Ax
for t ↦→ x(t) ∈ R n and A ∈ Mat n (R). The solution is given formally by
x(t) = e tA x(0)
where the “exponential operator” e tA is defined by the power series
e tA =
∞∑
n=0
t n
n! An
Hyperbolic systems. O campo linear v(x) = Ax é dito hiperbólico se o espectro de A, o
conjunto
sp(A) = {λ k = ρ k + iω k ∈ C t.q. det(A − λ k I) = 0}
dos valores próprios de A, é disjunto do eixo imaginário (ou seja, ρ k ≠ 0 ∀k).
• Verifique que
A =
( )
ρ1 0
0 ρ 2
⇒ e tA =
( )
e
ρ 1t
0
0 e ρ2t
A origem é dita nodo estável se ρ 1 , ρ 2 < 0, nodo instável se ρ 1 , ρ 2 > 0, ponto de sela se
ρ 1 < 0 < ρ 2 .
12 Pierre François Verhulst, Notice sur la loi que la population pursuit dans son accroissement, Correspondance
mathématique et physique 10 (1838), 113-121.