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1 INTRODUÇÃO 4
1 Introdução
1.1 Sistemas dinâmicos
Uma estrutura típica de um modelo físico é a seguinte. Existe um espaço X, dito “espaço dos
estados”, do sistema (uma variedade simplética em mecânica clássica, um espaço de Hilbert em
mecânica quântica, um certo espaço de funções em modelos hidrodinâmicos ...). Existe um espaço
T , que chamamos “tempo”, que contém um ponto chamado 0 (agora), e junto com t e s também
contém t+s (se é possível esperar uma hora e esperar duas horas, também deve ser possível esperar
três horas). As “leis” da física definem uma dinâmica em X: uma família de transformações
Φ t : X → X, definidas para t ∈ T , que verificam
Φ 0 = id X e Φ t+s = Φ t ◦ Φ s .
Portanto, as leis definem uma ação Φ : T × X → X do semigrupo tempo no espaço dos estados. O
ponto Φ t (x) é o estado no tempo t de um sistema que estava no estado x no tempo 0. A função
t ↦→ Φ t (x) é a “trajetória” do estado inicial x. As leis podem ser “reversíveis”, ou seja podem
permitir decidir o que aconteceu no passado, e nesse caso o tempo é idealizado como sendo o grupo
R ou Z, ou irreversíveis, e neste caso o tempo é pensado como o semigrupo R ≥0 ou N 0 . Se o tempo
é contínuo, o (semi)grupo costuma ser definido por meio do seu gerador infinitesimal
v = lim
t↓0
Φ t − id X
t
(o campo de vetores definido pela equação de Newton F = ma, o grupo de operadores unitários
e −itH gerado pelo operador hamiltoniano H, o semigrupo e −t∆ gerado pelo operador de Laplace-
Beltrami ∆, . . . ). Se o tempo é discreto, o (semi)grupo é gerado pela transformação
Φ 1 : X → X
Numa experiência da física, não é necessariamente o estado do sistema que se observa. Fazer
experiências quer dizer medir “observáveis”, ou seja ler nos instrumentos do laboratório os valores
de certas funções ϕ : X → R (a distância entre dois planetas, a energia de um eletrão, a temperatura
de um gás ...). A família de funções ϕ t = ϕ ◦ Φ t descreve a dinâmica do observável ϕ. De fato, o
∫
que se observa podem ser médias temporais do genero 1 T
T 0
ϕ tdt, às vezes indiretamente por meio
dos espetros de Fourier ∫ e ikt ϕ t dt ou de Laplace ∫ e st ϕ t dt.
1.2 Exemplos físicos
Só para ter uma ideia...
Mecânica clássica. O espaço dos estados de uma partícula (pensada como um ponto material)
é, de acordo com o princípio de relatividade de Galileo, R 3 × R 3 . Um estado é um vetor x = (q, p),
onde q ∈ R 3 é a “posição” e p = m ˙q ∈ R 3 o “momento”, ˙ denota a derivada em ordem ao tempo
e m a massa da partícula. A equação de Newton “força=massa×aceleração” se traduz no sistema
de equações
˙q = p/m ṗ = F
que definem um campo de vetores v = (p/m, F ) em R 3 × R 3 . A solução de dx (t) /dt = v (x (t))
com condição inicial x (0) = x é a trajetória t ↦→ Φ t (x).
Mecânica quântica. O espaço dos estados de uma partícula é um espaço de Hilbert, por
exemplo L ( 2 R 3) . Um estado é uma função q ↦→ Ψ (q), que tem a interpretação de “densidade de
probabilidades de encontrar a partícula na posição q”. A “energia” é um operador linear autoajunto
H : L ( 2 R 3) → L ( 2 R 3) , por exemplo da forma − ( 2 /2m ) ∆+V (q), onde ∆ é o operador de
Laplace-Beltrami, é a constante de Planck, m é a massa da partícula, e V é a “energia potencial”.
A equação de Schrödinger
i ∂ ∂t Ψ = − 2
2m ∆Ψ + V · Ψ
gera o grupo unitário de operadores e −itH/ : L 2 ( R 3) → L 2 ( R 3) .