My title - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

5 ÓRBITAS REGULARES E PERTURBAÇÕES 37
A família quadrática. A família quadrática, ou logística (do francês “logement” 9 ), é a família
de transformações f λ : [0, 1] → [0, 1] definidas por
x ↦→ λx(1 − x)
onde o parâmetro λ tem valores no intervalo [0, 4].
Os pontos fixos de f λ são 0, que é atrativo quando 0 ≤ λ < 1, e p λ = λ−1
λ
, que é atrativo
quando 1 < λ < 3.
Se λ ∈ [0, 1] então toda trajetória (fλ n (x)) converge para 0. De fato, toda trajetória é uma
sucessão decrescente e limitada, logo convergente, e o limite é o único ponto fixo 0.
Se λ ∈ ]1, 3] então toda trajetória (fλ n (x)) converge para p λ. De fato, se 1 < λ < 3, existe uma
vizinhança V de p λ tal que f λ | V é uma contração e tal que para todo x ∈ [0, 1] existe um tempo
n ≥ 0 tal que fλ n (x) ∈ V . O caso em que λ = 3 não é muito diferente ...
5.6 Convergência no método de Newton
Newton method. Seja p ∈ R[x] um polinómio com coeficientes reais. O método de Newton
para determinar as raizes de p(x), ou seja, resolver a equação p(x) = 0, consiste em escolher uma
primeira aproximação x 0 , e iterar
x n+1 = x n − p(x n)
p ′ (x n ) .
Ou seja, se x 0 é uma primeira conjectura, uma conjectura melhor é o zero da aproximação linear
p(x) ≃ p(x 0 ) + p ′ (x 0 ) · (x − x 0 ).
Se a sucessão (x n ) converge, i.e. x n → r, e se p ′ (r) ≠ 0, então o limite r é um zero do
polinómio p. Vice-versa, se r é uma raiz do polinómio p, e se p ′ (r) ≠ 0, então r é um ponto fixo
da transformação
x ↦→ f(x) = x − p(x)
p ′ (x)
A derivada de f em r é
f ′ (r) = 1 − (p′ (r)) 2 − p(r)p ′′ (r)
(p ′ (r)) 2 = 0
Portanto, r é um ponto fixo atrativo de f: a trajetória de toda conjectura inicial x 0 suficientemente
próxima da raiz r converge para r.
Quadratic convergence. De facto, sendo a derivada f ′ (r) = 0, a raiz é um ponto fixo superatractivo
de f, e a convergência é, em geral, mais do que exponencial.
Theorem. Let r be a non-critical root of the polynomial p ∈ R[x], i.e. a root where p ′ (r) ≠ 0.
Then Newton’s iterations starting with some x 0 sufficiently near the root r converge to this root,
and the convergence is “quadratic”, i.e. the error ε n = |x n − r| decreases as
for some K > 0.
ε n+1 ≤ K · ε 2 n
9 A família quadrática nasceu como modelo de dinâmica de populações. Num meio ambiente ilimitado, uma
população tem crescimento exponencial, e um modelo razoável a tempo discreto é z n+1 = λz n, onde z n é o
tamanho da população no tempo n e λ > 0 é um parâmetro que caracteriza a ”fertilidade” da especie. Se o meio
ambiente (a disponibilidade de espaço e comida) é limitado, parece razoável acrescentar um termo negativo −βzn,
2
onde β > 0, que toma conta da mortalidade devida à falta de recursos (a probabilidade de dois individuos estar
num mesmo sitio, e portanto disputar a comida, é proporcional a zn). 2 O modelo é portanto z n+1 = λz n − βzn. 2 A
maior população suportada pelo meio ambiente resulta ser λ/β e, se chamamos x n = z nβ/α a população relativa,
obtemos o modelo x n+1 = λx n (1 − x n).