My title - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

5 ÓRBITAS REGULARES E PERTURBAÇÕES 36
dem. Pela continuidade de f ′ , existem λ < 1 e uma bola B = B ε (p) centrada em p tais que
|f ′ (x)| < λ para todo x ∈ B. O teorema do valor médio implica que f ( B ) ⊂ B, pois se d (x, p) ≤ ε
então
d (f (x) , p) ≤ λ · d (x, p) < ε
e que d (f (x) , f (x ′ )) ≤ λ · d (x, x ′ ) se x, x ′ ∈ B. Portanto, f | B
: B → B é uma contração, e o
princípio das contrações diz que a trajetória de todo ponto de B converge para p. O resultado é
que B ⊂ W s (p), i.e. a bacia de atração de p é uma vizinhança de p.
Pontos fixos repulsivos. A ordem da reta real permite codificar um comportamento “oposto”
à atratividade. Sejam f : I → I uma transformação de classe C 1 definida num intervalo I ⊂ R, e
p ∈ I um ponto fixo de f.
Teorema. Se |f ′ (p)| > 1, então p é “repulsivo”, i.e. admite uma vizinhança B tal que a trajetória
de todo ponto x ∈ B distinto de p sai da vizinhança em tempo finito.
dem. Pela continuidade de f ′ , existem λ > 1 e um intervalo B = [p − ε, p + ε] centrado em p tais
que |f ′ (x)| > λ para todo x ∈ B. Observem também que f é estritamente crescente ou decrescente
em B, dependendo do sinal de f ′ (p), e portanto envia bijetivamente intervalos em intervalos. Agora,
seja x ∈ B um ponto diferente de p, e suponhamos que f k (x) ∈ B para todo tempo 0 ≤ k ≤ n. A
regra da cadeia implica que as derivadas das f k em x crescem exponencialmente, pois
∣ ( f k) ∣
′ ∣∣ ∣
(x) = ∣f ′ ( f k−1 (x) )∣ ∣
∣ · ∣f ′ ( f k−2 (x) )∣ ∣ · ... · |f ′ (x)| > λ k
para todo k ≤ n. O teorema do valor médio implica que n não pode ser arbitrariamente grande,
porque
d (p, f n (x)) ≥ λ n · d (p, x) e d (p, f n (x)) ≤ ε
são incompatíveis quando n é grande. Portanto, existe um tempo n ≥ 1 tal que f n (x) /∈ B.
Cuidado: este resultado é “local”. A condição |f ′ (p)| > 1 não contém informação acerca da
bacia de atração de p.
Também, a condição |f ′ (p)| > 1 não é suficiente para decidir a repulsividade de um ponto fixo
em dimensão maior, pois podem existir “direções” onde f estica as distâncias e outras onde f
reduz as distâncias...
Exercícios.
• Dê exemplos que mostram que o conjunto estável de um ponto fixo repulsivo p pode conter
estritamente {p}.
• Procure uma boa definição de órbita periódica atrativa.
(Observe que, se { p, f(p), ..., f n−1 (p) } é uma órbita, a derivada de f n é a mesma em todos
os seus pontos pela regra da cadeia. Se ∣ ∣ (f n ) ′ (p) ∣ ∣ < 1, então p é um ponto fixo atrativo da
transformação f n , e portanto existe uma vizinhança B de p tal que f kn (x) → k→∞ p para
todo x ∈ B. Então B ∪ f −1 (B) ∪ ... ∪ f −(n−1) (B) é uma vizinhança da órbita periódica, e
as trajetórias dos seus pontos são assimptóticas à órbita de p ...)
• Consider the family of quadratic maps
x ↦→ λx 2
depending on the parameter λ. Find the basin of attraction of the fixed point p = 0, and
describe the speed of convergence of convergent trajectories.
• Se p é um ponto fixo de f : R → R tal que f ′ (p) = 1, então tudo ou quase tudo pode
acontecer! O conjunto estável de p pode ser uma vizinhança de p, pode ser só {x}, ou pode
conter uma “meia vizinhança” de p, um intervalo do género [p, p ± ε[ ...
Estude os exemplos
e invente outros.
x ↦→ x ± x 3 e x ↦→ x ± x 2