My title - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

5 ÓRBITAS REGULARES E PERTURBAÇÕES 35
Transformações crescentes do intervalo. Por exemplo, seja f : I → I uma transformação
contínua e crescente do intervalo I. Então toda trajetória (x n ) n∈N0 é monótona, crescente ou
decrescente. A sucessão monótona (x n ) n∈N0
só pode fazer duas coisas: ser convergente, i.e. x n → p
para algum ponto fixo p, se é limitada, ou ser divergente, no sentido em que x n → ±∞, se não é
limitada. Em particular, se o intervalo I é compacto, a segunda possibilidade é impossível, logo
toda trajetória é convergente. Isto implica que, se I é compacto, existe um compacto não vazio
F ⊂ I de pontos fixos, e que os pontos em cada componente conexa de I\F têm trajetórias contidas
na componente conexa, e convergentes para um ponto de ∂F .
Exercícios.
• Prove que um homeomorfismo f : I → I de um intervalo I ⊂ R não tem pontos periódicos
com período superior a 2. Quando tem pontos periódicos de período 2
(Se o homeomorfismo é crescente então nenhum ponto pode ter período superior a 1. De fato,
as trajetórias são monótonas, portanto ou f (x) = x, ou f n+1 (x) > f n (x) > ... > x para
todo n ≥ 1, ou f n+1 (x) < f n (x) < ... < x para todo n ≥ 1. Seja agora f um homeomorfismo
decrescente. Não é difícil ver que f tem um, e um único, ponto fixo p, e que p divide I em
dois subintervalos I − e I + que são permutados pela transformação f. Observe também que,
se f é decrescente, então f 2 é crescente. Seja x ≠ p tal que f 2 (x) ≠ x. Então as sucessões
(
f 2n (x) ) e ( f 2n+1 (x) ) são estritamente monótonas e estão em ”lados” distintos de p, i.e.
uma em I ± e a outra em I ∓ ...)
• Sejam I ⊂ R um intervalo compacto e f : I → I uma função contínua e crescente. Prove que
a trajetória de cada ponto de I converge para um ponto fixo de f. Discuta a dinâmica de f.
• Estude também a dinâmica de uma transformação contínua e decrescente f : I → I definida
num intervalo compacto I ⊂ R.
(Observe que, se f é decrescente, então f 2 é crescente... )
Desafio. Sejam I um intervalo da reta real, e f : I → I e g : I → I dois homeomorfismos de I
sem pontos periódicos. Prove que f e g são topologicamente conjugados.
Teorema de Sharkovskii. A ordem da reta também influi na distribuição dos períodos das
órbitas periódicas. Um resultado de Alexander N. Sharkovskii diz que existe uma ordem ≺ nos
naturais
1 ≺ 2 ≺ 2 2 ≺ 2 3 ≺ · · · ≺ 2 m ≺ · · · ≺ 2 k · (2n − 1) ≺ . . .
. . . ≺ 2 k · 3 ≺ · · · ≺ 2 · 3 ≺ ... ≺ 2n − 1 ≺ · · · ≺ 9 ≺ 7 ≺ 5 ≺ 3
tal que, se uma função contínua f : R → R tem uma órbita periódica de período k e se j ≺ k,
então também tem uma órbita periódica de período j. Em particular, a existência de uma órbita
de período 3 implica a existência de órbitas de todos os períodos!
5.5 Análise local: pontos fixos atrativos e repulsivos
A diferenciabilidade das transformações e o princípio das contrações ajudam a comprender as
trajetórias dos pontos numa vizinhança dos pontos periódicos.
Pontos fixos atrativos. Sejam f : X → X uma transformação de classe C 1 definida num
aberto X ⊂ R n , e p ∈ X um ponto fixo de f.
Teorema Se |f ′ (p)| < 1, então p é “atrativo”, ou seja, admite uma vizinhança B tal que f n (x) →
p para todo x ∈ B.