My title - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

5 ÓRBITAS REGULARES E PERTURBAÇÕES 34
para todos x, x ′ ∈ X distintos pode não ter pontos fixos.
(Um exemplo com X não completo é obvio: basta retirar o ponto fixo de uma contração de
um espaço completo. Um exemplo “minimalista” com X completo, é um espaço formado por
uma única órbita, ou seja um espaço que só contém um ponto x 0 e os pontos x n = f n (x 0 )
com n ≥ 1. Se d n denota a distância d (x n , x n−1 ), então d n+1 < d n . Não queremos pontos
fixos, portanto a sucessão (x n ) não pode ser convergente. Uma condição suficiente é que a
série ∑ d n seja divergente ...)
• Sejam a > 0 e x 0 > 0. Mostre que a sucessão (x n ) definida indutivamente por
x n+1 = 1 (
x n + a )
2 x n
converge para √ a . Assuma que a = 2, escolhe um ponto inicial x 0 > 0, e estime a distância
entre x n e √ 2. Utilize o resultado para dar uma aproximação de √ 2 com dois dígitos decimais
correctos 8 .
(A sucessão é uma trajetória da transformação f : x ↦→ (x + a/x) /2. Observe que a restrição
de f ao domínio [ √ a, ∞[ é uma contração, e que f (R >0 ) ⊂ [ √ a, ∞[, logo toda trajetória cai
neste domínio passada uma iteração...)
• Mostre que as contrações lineares da reta x ↦→ αx e x ↦→ βx não podem ser conjugadas se
α · β < 0, i.e. se uma é crescente e a outra é decrescente.
(Uma conjugação é um homeomorfismo da reta, em particular é monótono...)
Observação: princípio das contrações, teoremas de ponto fixo “analíticos” e métodos
variacionais. O princípio das contrações é o ingrediente de muitos teoremas de existência
em matemática (pense só no teorema de existência das soluções das equações diferenciais). Se
queremos provar a existência e a unicidade de um ponto p ∈ X que satisfaz uma certa propriedade
P , podemos tentar escrever a condição “x satisfaz P ” na forma “f (x) = x”, onde f : X → X
é uma transformação. Se existe uma métrica d tal que f seja uma contração do espaço métrico
completo (X, d), então a trajetória de todo ponto x ∈ X converge para o único ponto p que satisfaz
a propriedade em causa. O método funciona porque (f n (x)) é uma sucessão convergente, e a
distância d (f n (x) , p) converge para 0 quando n → ∞. Em outras palavras, a função x ↦→ d (x, p)
é estritamente decrescente nas trajetórias de f, e tem um mínimo, único, no ponto p. Em falta
de uma contração natural f, isto sugere uma outra estratégia. A ideia agora é tentar provar a
existência de uma função ϕ tal que “x satisfaz P ” sse “ϕ (x) < ϕ (x ′ ) para todo x ′ ≠ x” (ou pelo
menos para todo x ′ ≠ x numa vizinhança de x, o que quer dizer que ϕ tem um mínimo local
em x), e depois utilizar resultados de compacidade para provar que o mínimo de ϕ existe e, com
alguma sorte, é até único. Estes métodos são ditos “princípios variacionais”, e tiveram origem na
física do século XIX. As próprias leis da física costumam ser enunciadas na forma de princípios
variacionais. Por exemplo, em mecânica clássica, a trajetória de um ponto material com posição
inicial q 0 e condição final q T é a (derivada da) curva q : [0, T ] → R 3 , com q (0) = q 0 e q (T ) = q T ,
que é um ponto crítico de um certo funcional
ϕ (q) =
∫ T
0
L (q (t) , ˙q (t)) dt
dito “ação”, o integral da Lagrangiana L =“energia cinética−energia potencial” ao longo da trajetória.
Esta é também a estratégia utilizada para provar a existência e a unicidade das soluções
das equações às derivadas parciais da física matemática: procurar uma ação ϕ que tenha um ponto
crítico nas soluções.
5.4 Ordem da reta real e trajetórias
A ordem da reta real implica restrições às trajetórias de transformações monótonas.
8 Este era o método utilizado pelos babilónios (embora posteriormente atribuído a Arquitas de Taranto, a Heron
de Alexandria, ou até ao Newton!) para “calcular” o lado de um quadrado de área a. Eles chegaram a ter uma
aproximação de √ 2 que, em notação decimal, era 1.414213, um erro de apenas ≃ 10 −6 ! Uma conjetura sobre a
origem do método está em O. Neugebauer, The exact sciences in antiquity, Dover, New York 1969.