My title - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

5 ÓRBITAS REGULARES E PERTURBAÇÕES 33
Dem. Se p ′ é o ponto fixo de g, então em particular g n (p) → p ′ quando n → ∞. Utilizando a
desigualdade do triângulo vê-se que
d (p, p ′ )
≤
∞∑
d ( g n+1 (p) , g n (p) ) ∞∑
≤ d (g (p) , p) · (λ + δ) n
n=0
≤ δ ·
∞∑
(λ + δ) n δ
=
1 − (λ + δ)
n=0
n=0
e esta quantidade é < ε desde que δ seja suficientemente pequeno.
Classes de equivalência das contrações lineares da reta. As contrações da reta real
fornecem também um exemplo simples de como pode ser utilizada a dinâmica para construir uma
conjugação topológica.
Sejam f : x ↦→ αx e g : x ↦→ βx duas contrações lineares de R, com 0 < α, β < 1. A origem é
o ponto fixo das duas contrações. O conjunto A = [−1, −α[ ∪ ]α, 1] é um “domínio fundamental”
pela ação de f em R\ {0}, no sentido em que, dado um x ∈ R\ {0} arbitrário, existe e é único um
tempo n (x) ∈ Z tal que f n(x) (x) ∈ A. Analogamente, um domínio fundamental pela ação de g em
R\ {0} é B = [−1, −β[ ∪ ]β, 1]. Seja H : A → B um homeomorfismo que verifique H(−1) = −1,
H(−α) = −β, H(α) = β e H(1) = 1 (por exemplo, podem escolher um homeomorfismo afim). É
imediato verificar que a receita
{ 0 se x = 0
h(x) =
g −n(x) (H(f n(x) (x))) se x ≠ 0
define um homeomorfismo h : R → R. Observando que n (x) = n (f (x)) + 1, vê-se que
( (
))
( (
))
(h ◦ f) (x) = g −n(f(x)) H f n(f(x)) f (x) = g −n(x)+1 H f n(x)−1 (f (x))
( ( ( )))
= g g −n(x) H f n(x) (x) = (g ◦ h) (x)
e portanto h é uma conjugação topológica entre f e g.
O caso em que −1 < α, β < 0 pode ser tratado da mesma maneira. Não é dificil verificar que
as contrações x ↦→ αx e x ↦→ βx não podem ser conjugadas se α · β < 0, i.e. se uma é crescente
e a outra é decrescente. O resultado é que todas as contrações lineares e não triviais da reta real
com a mesma orientação são topologicamente conjugadas, e portanto só existem duas classes de
equivalências de contrações lineares da reta.
É importante observar que uma conjugação h entre f : x ↦→ αx e g : x ↦→ βx não pode ser de
classe C 1 , a não ser que α = β. Pois, se f = h −1 ◦ g ◦ h e se h é diferenciável, então a regra da
cadeia implica que f ′ (0) = g ′ (0), logo que α = β. Este fenómeno explica porque na definição de
estabilidade estrutural é melhor pedir que a conjugação seja só contínua.
Execícios.
• Utilize o teorema do valor médio para mostrar que uma função f : R n → R n de classe C 1 é
uma contração sse existe λ < 1 tal que |f ′ (x)| ≤ λ para todo x ∈ R n .
• Prove que uma contração de um espaço métrico compacto X não pode ser invertível, desde
que o espaço contenha mais de um ponto.
(Compare os diâmetros de X e de f (X))
• Dê exemplos de contrações de
[0, 1] [0, 1]×[0, 1] B r (x) = {y ∈ R n t.q. d (x, y) < r} S 1 = {z ∈ C t.q. |z| = 1}
• Mostre que uma transformação f : X → X do espaço métrico completo (X, d) tal que
d(f(x), f(x ′ )) < d(x, x ′ )