My title - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

5 ÓRBITAS REGULARES E PERTURBAÇÕES 32
• Seja f : R 2 → R 2 a transformação linear do plano definida por
( ) a b
x ↦→ x
c d
Estude a bacia de atração do ponto fixo 0 ao variar os parâmetros a, b, c, d.
5.3 Dinâmica das contrações
Dinâmica das contrações. Seja (X, d) um espaço métrico. Uma aplicação f : X → X é uma
contração (ou λ-contração se é importante lembrar o valor de λ) se é Lipschitz e tem constante de
Lipschitz λ < 1, ou seja se existe 0 ≤ λ < 1 tal que para todos x, x ′ ∈ X
d(f(x), f(x ′ )) ≤ λ · d(x, x ′ )
A dinâmica das contrações é simples, e é descrita pelo
Princípio das contrações (teorema de ponto fixo de Banach). Todas as trajetórias de
uma contração f : X → X são sucesssões de Cauchy, e a distância entre cada duas trajetórias
diminue exponencialmente no tempo. Se X é completo, então f tem um e um único ponto fixo p, e
a trajetória de todo ponto x ∈ X converge exponencialmente para o ponto fixo, ou seja f n (x) → p
quando n → ∞.
dem. Seja x 0 ∈ X um ponto arbitrário, e seja (x n ) a sua trajetória, i.e. x n+1 = f(x n ). Iterando
a contratividade vê-se que d (x k+1 , x k ) ≤ d(x 1 , x 0 )·λ k . Usando k vezes a desigualdade do triângulo
e depois a convergência da série geométrica de razão λ, vê-se que
d(x n+k , x n )
≤
k−1
∑
k−1
∑
d(x n+j+1 , x n+j ) ≤ d(x 1 , x 0 ) ·
j=0
≤ d(x 1 , x 0 ) · λ n ·
j=0
j=0
λ n+j
∞∑
λ j ≤
λn
1 − λ · d(x 1, x 0 ).
Portanto, (x n ) é uma sucessão de Cauchy, pois λ n ·d(x 1 , x 0 )/ (1 − λ) é menor de cada ε > 0 a partir
de um n (ε) suficientemente grande. A continuidade de f implica que o limite p = lim n→∞ x n , que
existe se X é completo, é um ponto fixo de f. A unicidade do ponto fixo é evidente, pois se p e p ′
são fixos então d (p, p ′ ) = d (f (p) , f (p ′ )) ≤ λ · d (p, p ′ ) com λ < 1, donde d (p, p ′ ) = 0. Por outro
lado, a contratividade também diz que d(x n , p) ≤ λ n · d(x 0 , p), ou seja que a convergência x n → p
é exponencial.
Estabilidade das contrações. Uma contração f : X → X do espaço métrico completo X
pode ser pensada como uma “máquina” que calcula o ponto fixo p = lim n→∞ f n (x) a partir de
uma condição inicial arbotráriax ∈ X. O problema é decidir se uma pequena perturbação de f
, digamos g : X → X, produz um ponto fixo p ′ próximo de p. A resposta consiste em formular
um resultado de “continuidade”, que diga que um controle da “distância” entre f e g permite ter
um controle da distância entre p ′ e p. Ora, se d ∞ (f, g) < δ, a transformação g pode não ser uma
contração, por quanto pequeno seja o δ > 0 (para se convencer, pode traçar gráficos de contrações
da reta real, e ver que numa δ-vizinhança cabem gráficos de transformações mais chatas...). Uma
solução é admitir que X tenha uma estrutura diferenciável e que as transformações sejam de classe
C 1 . A condição ‖f − g‖ C 1 < δ implica que, se f é uma λ-contração e δ < 1 − λ, então também g é
uma contração e tem constante de Lipschitz ≤ λ + δ. Mais vale procurar o teorema de estabilidade
diretamente dentro do espaço das contrações.
Teorema (perturbação da contração). Seja f : X → X uma λ-contração do espaço métrico
completo (X, d), e seja p ∈ X o seu ponto fixo. Para todo ε > 0 existe 0 < δ < 1 − λ tal que se
g : X → X uma (λ + δ)-contração a distância d ∞ (f, g) < δ, e se p ′ é ponto fixo de g, então
d(p, p ′ ) < ε