My title - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

5 ÓRBITAS REGULARES E PERTURBAÇÕES 31
5 Órbitas regulares e perturbações
5.1 Teoremas de ponto fixo “topológicos”
Encontrar os pontos periódicos de uma transformação f, o seja os pontos fixos das iteradas f n , é
tudo menos que trivial. Pensem só no caso de um polinómio f de grau k > 1 definido na reta real.
A iterada f n é um polinómio de grau nk, e resolver a equação f n (x) = x não é fácil ...
Em dimensão um, conexos e convexos coincidem e são chamados intervalos. Este “milagre” é
responsavel de dois critérios muito simples para provar a existência de pontos fixos em determinados
intervalos do domínio de uma transformação contínua f : I → R. Numa linguagem sugestiva, dizem
que se uma transformação restringe ou estica um intervalo compacto J ⊂ I, então fixa pelo menos
um ponto deste intervalo. Formalmente,
Teorema de ponto fixo. Seja f : I → R uma transformação contínua definida num intervalo
I ⊂ R.
i) Se J ⊂ I é um intervalo compacto tal que f (J) ⊂ J, então f tem um ponto fixo em J.
ii) Se J ⊂ I é um intervalo compacto tal que J ⊂ f(J), então f tem um ponto fixo em J.
A prova é uma aplicação elementar do teorema de Bolzano à função f − id. É instructivo
procurar demonstrações mais abstratas. Observe que, se f não tivesse pontos fixos em J, então
x ↦→ f (x) − x
|f (x) − x|
seria uma aplicação contínua de um intervalo (J no caso i) ou um subintervalo de J no caso ii))
sobre o espaço desconexo {−1, 1} ...
Outros teorema de ponto fixo. Em dimensão maior, o análogo do resultado i) é o ”teorema
de ponto fixo de Brouwer”: uma transformação contínua f : B n → B n da bola fechada B n =
{x ∈ R n t.q. |x| ≤ 1} ⊂ R n tem um ponto fixo. O “absurdo” que produz a demonstração deste
resultado não é tão trivial como no caso do intervalo, e utiliza ideias de topologia algébrica: não é
possível deformar de maneira contínua a bola B n até obter a esfera S n−1 = ∂B n . A generalização
em dimensão infinita é o teorema de ponto fixo de Shauder-Tychonov: uma transformação contínua
f : K → K de um subconjunto compacto e convexo K de um espaço de Banach (ou de um espaço
vetorial topológico localmente convexo) tem um ponto fixo.
5.2 Bacia de atração
Limite de trajetórias convergentes. Se a trajetória de x é uma sucessão convergente, o seu
limite é um ponto fixo. De fato, se f n (x) → p, a continuidade de f implica que
( )
f (p) = f lim f n (x) = lim f n+1 (x) = p .
n→∞ n→∞
Bacia de atração. Seja p um ponto fixo de f : X → X. A bacia de atração, ou conjunto estável,
de p é o conjunto dos pontos cuja trajetória é assimptótica a p, i.e.
{
}
W s (p) = x ∈ X t.q. lim f n (x) = p
n→∞
A unicidade do limite de uma sucessão convergente num espaço métrico implica que os conjuntos
estáveis de dois pontos fixos diferentes são disjuntos.
Execícios.
• Seja f : R → R a transformação linear da reta definida por x ↦→ λx. Estude a bacia de
atração do ponto fixo 0 ao variar o parâmetro λ.