My title - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

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NÚMEROS E DINÂMICA 29
Frações contínuas periódicas e irracionais quadráticos.
são as raizes irracionais dos polinómio quadrático
Os números irracionais quadráticos
f(x) = ax 2 + bx + c
com a, b, c ∈ Z, ou seja, os números da forma α+√ β
δ
, onde α, β, δ ∈ Z, δ ≠ 0 e β > 0 não é um
quadrado.
Teorema de Lagrange. A fração contínua de um número irracional x ∈ R\Q é periódica sse
x é um irracional quadrático.
Dem.
See [Kh35, HW59]. The “if” part is easy, and is suggested in the following exercises.
Exercícios.
• Mostre, por indução, que se x é um irracional quadrático então [a 0 ; a 1 , a 2 , . . . , a n , x] é também
um irracional quadrático, para todos os inteiros a 0 , a 1 , . . . , a n .
• Mostre que para todo x ∈ R e todos a 0 , a 1 , . . . , a n inteiros,
com a, b, c, d ∈ Z.
• Observe que se x = [a 0 ; a 1 , a 2 , . . . , a n ], então
[a 0 ; a 1 , a 2 , . . . , a n , x] = ax + b
cx + d
x = ax + b
cx + d
com a, b, c, d ∈ Z, e portanto é um irracional (porque a sua fração contínua é infinita)
quadrático (porque x(cx + d) = ax + b, donde cx 2 + (d − a)x − b = 0).
• Deduza que se a fração contínua de x é periódica então x é un irracional quadrático.
Rational approximations of irrationals. Rationals are dense in the real line (which is, indeed,
the completion of rationals w.r.t. the Euclidean metric, so that real numbers are equivalence classes
of Cauchy sequences of rationals). Hence, for any x ∈ R and any “precision” ε > 0 we may find
“rational approximations” of x, i.e. solutions p/q of the inequality
∣ x − p q ∣ < ε .
The questions, when x is irrational, are: how large must be the denominator q given ε How do
the denominators grow when we take smaller and smaller ε
Continued fraction gives the following first answer (but Dirichelet’s proof is much simpler, a
pigeon-hole argument).
Theorem.
Let x be an irrational number. Then there exist an infinity of rationals p/q such that
∣ x − p q ∣ < 1 q 2 .