My title - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

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NÚMEROS E DINÂMICA 27
Observe que se os a n são inteiros, então os convergentes são números racionais p n /q n (com p n , q n ∈
Z, q n ≠ 0 e (p n , q n ) = 1).
Teorema. Os convergentes p n /q n = [a 0 ; a 1 , a 2 , . . . , a n ] da fração contínua [a 0 , a 1 , a 2 , a 3 , . . . ] são
determinados pela equação recursiva
p n = a n p n−1 + p n−2
q n = a n q n−1 + q n−2
com condições iniciais p 0 = a 0 e q 0 = 1, e p −1 = 1 e q −1 = 0.
Dem. [Kh35, HW59] to be done
Exercícios.
• Mostre por indução que
q n p n−1 − p n q n−1 = (−1) n
Deduza que os convergentes p n /q n são frações reduzidas.
• Mostre que
p n+1
q n+1
− p n
q n
= (−1)n
q n+1 q n
Deduza que os convergentes com n par crescem, e os convergentes com n ímpar decrescem.
• Use a equação recursiva (e as condições iniciais) para mostrar que os denominadores q n dos
convergentes p n /q n de uma fração contínua infinita [a 0 ; a 1 , a 2 , a 3 , . . . ] satisfazem
q n+2 ≥ q n+1 + q n ≥ 2q n ,
e portanto crescem exponencialmente (mais do que a sucessão de Fibonacci!):
q n+1 ≥ 2 n/2 .
Valores. A desigualdade ∣ ∣∣∣ p n+1
− p ∣
n ∣∣∣ 1
= ≤ 2 1−n
q n+1 q n q n+1 q n
implica que a sucessão dos convergentes p n /q n de uma fração contínua infinita é convergente, ou
seja, existe o lim n→∞ p n /q n = x, chamado valor da fração contínua e denotado por
x = [a 0 ; a 1 , a 2 , a 3 , . . . ] = lim
n→∞ [a 0; a 1 , a 2 , . . . , a n ] ,
De facto, é possível mostrar que se a fração contínua é infinita, este valor é um número irracional,
e os convergentes satisfazem explain the
∣ first inequality!
1 ∣∣∣
q n (q n+1 + q n ) < x − p ∣
n ∣∣∣ 1
<
q n q n+1 q n
Teorema. A cada número real x ∈ R corresponde uma única fração contínua, finita se é racional
e infinita se é irracional:
• se x ∈ Q, então
x = [a 0 ; a 1 , a 2 , . . . , a n ] com a n > 1 ,
• se x ∈ R\Q, então
x = [a 0 ; a 1 , a 2 , . . . , a n , . . . ] = lim
n→∞ [a 0; a 1 , a 2 , . . . , a n ] .