My title - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

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NÚMEROS E DINÂMICA 26
Rotações do toro. O toro de dimensão n é o espaço quociente T n = R n /Z n , munido da
métrica
d (x + Z n , x ′ + Z n ) =
min
y∈π −1 {x+Z n }, y ′ ∈π −1 {x ′ +Z n }
|y − y ′ |
onde π : R n → R n /Z n é a projeção. As rotações do toro são os homeomorfismos +α : R n /Z n →
R n /Z n definidos por
x + Z n ↦→ x + α + Z n
onde agora α ∈ R n .
4.4 Dyadic adding machine
Inteiros diádicos. A norma diádica nos inteiros Z é definida por ‖n‖ 2 = 2 −k se 2 k é a maior
potência de 2 que divide n (ou seja, se n = 2 k q com q ímpar). O grupo aditivo (de fato, o anel) dos
inteiros diádicos Z 2 é o completamento de Z com respeito à distância diádica d 2 (n, m) = ‖n−m‖ 2 .
É um grupo topológico compacto. Pode ser pensado como o conjunto das séries formais
∞∑
x = x n 2 n = . . . x n . . . x 3 x 2 x 1
n=1
com x n ∈ {0, 1}, munido da “adição” definida da forma usual da direita à esquerda. Em quanto
espaço topológico, Z 2 é isomorfo ao produto topológico Σ − ≃ {0, 1} −N , o conjunto das palavras
infinitas (. . . x n . . . x 3 x 2 x 1 ) nas letras 0 e 1, munido da topologia produto.
Adding machine. A “dyadic adding machine” (ou “Kakutani-von Neumann odometer”) é a
translação η : Z 2 → Z 2 , definida por
x ↦→ x + 1
ou seja,
Exercícios.
{
1 − xn se x
(ηx) n =
k = 1 ∀ k < n
caso contrário
• Verifique que η é um homeomorfismo, com inversa
{
(η −1 1 − xn se x
x) n =
k = 0 ∀ k < n
caso contrário
x n
x n
• A adding machine η tem pontos periódicos
4.5 Frações contínuas e mapa de Gauß
Ref.
[HW59] chapter X, and [Kh35].
Frações contínuas.
formais
As frações contínuas (simples e com denominadores naturais) são expressões
[a 0 ; a 1 , a 2 , a 3 , . . . ] = a 0 +
a 1 +
1
a 2 +
1
1
a 3 + 1
. ..
onde a 0 ∈ Z e os “denominadores” a n ∈ N se n ≥ 1. Os convergents de [a 0 ; a 1 , a 2 , a 3 , . . . ] são as
frações contínuas finitas
[a 0 ; a 1 , a 2 , . . . , a n ] = a 0 +
a 1 +
1
a 2 +
1
1
. .. +
1
a n