My title - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

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NÚMEROS E DINÂMICA 25
Rotações.
As rotações do círculo são as transformações +α : R/Z → R/Z definidas por
x + Z ↦→ x + α + Z
onde α ∈ R. Observe que o círculo R/Z é um grupo comutativo, e que as as transformações +α,
com α ∈ R/Z, são as translações do grupo.
As rotações do círculo são as isometrias de (R/Z, d) que preservam a orientação.
Em notação multiplicativa, se o círculo é identificado com S 1 ≃ {z ∈ C t.q. |z| = 1} ⊂ C, as
rotações do círculo são as transformações z ↦→ e i2πα z.
Teorema.
Uma rotação do círculo x + Z ↦→ x + α + Z tem pontos periódicos sse α é racional.
De fato, se α = p/q com (p, q) = 1 e q > 0, então todo ponto do círculo é periódico de período
q. Por outro lado, se α é irracional, não existe nenhum natural n ≥ 1 tal que x + Z = x + nα + Z,
seja o que for x.
Exercícios.
• Verifique que
é uma métrica no círculo R/Z.
d (x + Z, x ′ + Z) = min
n∈Z |x − x′ + n|
• Identifique o círculo R/Z com o intervalo [0, 1[ (toda classe x+Z tem um e só um representante
x neste intervalo), e dê uma expressão analítica para a distância d (x + Z, x ′ + Z) em função
de x e x ′ .
(Observe que se |x − x ′ | ≤ 1/2 então d (x + Z, x ′ + Z) = |x − x ′ |)
• Verifique que as rotações R α : x + Zx + α + Z, com α ∈ R, são isometrias, e portanto
homeomorfismos, de (R/Z, d).
Transformações do círculo. Uma transformação contínua do círculo R/Z pode ser pensada
como uma transformação contínua da reta real que “respeita” o retículo Z. Formalmente, seja
π : R → R/Z a projeção π (x) = x + Z. Toda função contínua F : R → R tal que F (x + 1) = F (x)
mod Z para todo x ∈ R induz uma função contínua f : R/Z → R/Z definida por
here
f (x + Z) = F (x) + Z
Por outro lado, pode-se mostrar que toda função contínua f : R/Z → R/Z admite um levantamento,
i.e. uma função contínua F : R → R tal que f ◦ π = π ◦ F . O levantamento não é único, mas
dois levantamentos F e G de f diferem por um inteiro, no sentido em que existe n ∈ Z tal que
F (x) = G(x) + n para todo x ∈ R. De fato, F − G é uma função contínua da reta real (que é
conexa) com valores inteiros, e portanto é constante. Isto implica que o número inteiro
deg(f) = F (x + 1) − F (x)
dito grau de f, não depende do levantamento. O grau de f é a cardinalidade algébrica das préimagens
x ′ ∈ f −1 {x} de um ponto genérico x do círculo, onde cada x ′ conta ±1 dependendo se f
preserva ou inverte a orientação numa sua vizinhança.
Um homeomorfismo do círculo tem grau ±1, dependendo se preserva ou menos a orientação.
Os recobribentos do círculo de grau k, com k ∈ Z\ {0}, são as transformações ×k : R/Z → R/Z
definidas por
x + Z ↦→ k · x + Z
Observe que cada ponto do círculo tem precisamente |k| pré-imagens.
Em geral, uma transformação do círculo de grau k tem um levantamento que é da forma F (x) =
k · x + h (x), onde h é uma função contínua periódica de período um, i.e. tal que h (x + 1) = h (x)
para todo x ∈ R.