My title - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

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NÚMEROS E DINÂMICA 23
4.2 Deslocamentos de Bernoulli
Espaço das palavras infinitas. Seja A = {1, 2, ..., z} um “alfabeto” de z ≥ 2 letras, um
conjunto finito munido da topologia discreta, e seja Σ + = A N o produto topológico de infinitas
cópias de A. Os pontos de Σ + são denotados por x = (x 1 , x 2 , x 3 , . . . , x n , . . . ), com x n ∈ A, e são
“palavras” infinitas nas letras do alfabeto A.
A topologia produto é a menor topologia em A N tal que as projeções π n : Σ + → A, que enviam
x ↦→ x n , sejam contínuas. Uma base da topologia produto τ em Σ + é a família C dos “cilindros
centrados”, os subconjuntos do género
C α = { x ∈ Σ + }
t.q. x 1 = α 1 , x 2 = α 2 , ..., x k = α k
palavras infinitas que “começam” pela palavra α = (α 1 , α 2 , ..., α k ), ao variar α entre todas as
palavras finitas nas letras de A. Observe que a família dos cilindros centrados é uma base de uma
topologia porque é uma cobertura, pois Σ + = C 1 ∪ C 2 ∪ ... ∪ C z , e porque a interseção de dois
cilindros centrados é um cilindro centrado ou o conjunto vazio. De fato, C α e C β têm interseção
não vazia sse uma das duas palavras, por exemplo α = (α 1 , α 2 , ..., α k ), é o pedaço inicial da outra
palavra, no sentido em que β = (α 1 , α 2 , ..., α k , β k+1 ..., β k+i ), e neste caso C α ∩ C β = C β . A ideia é
que, quanto maior for o comprimento da palavra α, quanto “menor” é o cilindro C α . Um aberto
do produto topólogico Σ + é, por definição, uma reunião de cilindros centrados.
A topologia produto é metrizável. Uma possibilidade é a métrica
d λ (x, x ′ ) =
∞∑
λ −n · |x n − x ′ n|
n=1
onde λ > 1 (por exemplo, λ = z). Outra possibilidade é
d ∞ (x, x ′ ) = z − min{n∈N : xn≠x′ n }
Os cilindros centrados são as bolas abertas, e também fechadas, de (Σ + , d ∞ ). A métrica d ∞ é uma
ultra-métrica, ou seja, uma métrica tal que d(x, y) ≤ max{d(x, z), d(z, y)}.
O espaço Σ + é um espaço métrico compacto, perfeito e totalmente desconexo, logo homeomorfo
a um conjunto de Cantor.
Exercícios.
• Mostre que d ∞ é uma ultra-métrica.
• Mostre que se X é um espaço munido de uma ultr-métrica, então cada bola aberta B ε (a) =
{y ∈ X t.q. d(x, y) < ε} é também uma bola fechada, e que cada ponto de uma bola é um
seu centro.
Deslocamentos de Bernoulli. O deslocamento de Bernoulli (em inglês, Bernoulli shift) é a
transformação σ : Σ + → Σ + que ”esquece a primeira letra”, definida por
σ : (x 1 , x 2 , x 3 , ...) ↦→ (x 2 , x 3 , x 4 , ...)
Observe que σ é uma transformação contínua, pois a imagem inversa de um cilindro centrado é uma
reunião finita de z cilindros centrados, e portanto a imagem inversa de um aberto é uma reunião
de cilindros centrados, logo um aberto. Observe também que σ não é invertível, todo ponto de Σ +
tem z pré-imagens.
A ideia é que o alfabeto A representa os possíveis resultados de uma experiência, como lançar
um dado com z faces, e um ponto de Σ + representa os resultados de uma sequência infinita de
experiências idénticas. Iterar n vezes o deslocamento corresponde a “esquecer” os resultados das
primeiras n experiências.