My title - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

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NÚMEROS E DINÂMICA 22
or, equivalently, that x 1 is the unique integer between 0 and 9 such that
10 · r 0 = x 1 · q + r 1
where, again, the rest r 1 is a non-negative integer 0 ≤ r 1 < q. And so on. Hence, the digits of the
decimal expansion of p/q are iteratively determined by
10 · r n−1 = x n · q + r n where 0 ≤ r n < q
Theorem. The rational numbers are precisely those real numbers whose representation in base
10 (or any other base d ≥ 2) is repeating/recurring.
Meanwhile, there exists irrational numbers!
Exercícios.
• Show that the decimal representation of a rational terminates iff the denominator is 2 a 5 b .
• Write 1/3 in base 2, and 2/3 in base 3 and 7.
• Show that the decimal (or any other base) representation of a rational number is repeating
(observe that the possibilities for the rests r n are finite).
• Show the converse: a repeating decimal represents a rational number (compute the sum of
the series).
• Give examples of non-repeating decimal expansions (see [HW59], section 9.4).
• Prove that Euler’s number
e =
∞∑
n=0
is irrational (Fourier’s idea: assume that e = p/q for some positive integers p/q, and deduce
that x = q! (e − ∑ q
n=0 1/n!) is then an integer. Estimate the series x = ∑ ∞
n=q+1
q!/n! and
prove that 0 < x < 1).
Multiplicação ×d. Seja d ≥ 2 um inteiro. A transformação F : R → R que envia cada número x
no seu múltiplo d · x tem uma dinâmica trivial. As coisas ficam mais interessantes se consideramos
os números módulo os inteiros, e definimos a multiplicação por d como sendo a transformação do
círculo ×d : R/Z → R/Z que envia
x + Z ↦→ d · x + Z
Se x = 0.x 1 x 2 x 3 . . . é a representação de x ∈ R/Z ≃ [0, 1) na base d, então a transformação ×d
envia
0.x 1 x 2 x 3 . . . ↦→ 0.x 2 x 3 x 4 . . .
Exercícios.
• Verifique que ×d é contínua.
• Determine a cardinalidade da imagem inversa de um ponto arbitrário de R/Z.
1
n!
• Determine os pontos periódicos e pré-periódicos de ×d.