My title - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

3 SISTEMAS DINÂMICOS TOPOLÓGICOS, DEFINIÇÕES BÁSICAS 20
Semi-conjugação. Uma função contínua e sobrejetiva h : X → Y é dita semiconjugação entre
os sistemas dinâmicos f : X → X e g : Y → Y se h ◦ f = g ◦ h. Neste caso, g é dito um fator de
f. A h-imagem de toda órbita de f é uma órbita de g. Numa linguagem informal, “a dinâmica de
g está contida na dinâmica de f”. Esta definição é interessante sobretudo quando o conjunto dos
pontos onde h não é injetiva é “pequeno”.
3.7 Estabilidade estrutural
Espaços de transformações. Uma distância natural no espaço das transformações contínuas
dum espaço métrico (X, d) é a distância do sup
d ∞ (f, g) = sup d (f (x) , g (x))
x∈X
ou seja, f e g estão δ-próximos se d (f (x) , g (x)) < δ para todo x ∈ X (cuidado: dois pontos f e
g podem estar a distância ∞ se X não é limitado!).
Se X tem uma estrutura diferenciável, por exemplo se X é um domínio V ⊂ R n , ou em geral
uma variedade diferenciável, podemos considerar a classe das transformações que têm derivadas
parciais de ordem ≤ k contínuas, munida da topologia de Whitney C k . Sem entrar em detalhes
técnicos, se X é um intervalo compacto da reta real, as topologias C k são geradas pelas normas
‖f − g‖ C 0
= sup |f (x) − g (x)| ‖f − g‖ C 1 = sup |f (x) − g (x)|+sup |f ′ (x) − g ′ (x)| ...etc.
x∈X
x∈X
x∈X
Estabilidade estrutural. Uma transformação f : X → X é C k -estruturalmente estável se
toda transformação g : X → X suficientemente próxima de f na topologia C k é topologicamente
conjugada a f.
Se o espaço X tem uma estrutura diferenciável, parece natural procurar conjugações diferenciáveis.
O problema é que desta maneira uma divisão em classes de equivalência resulta muito
fina e pouco significativa, devido a existência de “moduli”...