My title - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

CONTEÚDO 2
Conteúdo
1 Introdução 4
1.1 Sistemas dinâmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Exemplos físicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Problemas físicos e pequena história . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Estratégia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Iteration/recursion 7
2.1 Exponential growth/decay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Babylonian-Heron method to “compute” square roots . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Fibonacci numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 Newton method to find roots of polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5 Finite difference equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.6 Transformações do intervalo e cobweb plot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Sistemas dinâmicos topológicos, definições básicas 16
3.1 Transformações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2 Trajetórias e órbitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3 Órbitas periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.4 Observáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.5 Conjuntos invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.6 Conjugação topológica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.7 Estabilidade estrutural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4 Números e dinâmica 21
4.1 Expansão decimal e multiplicação ×10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2 Deslocamentos de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.3 Rotações do círculo/toro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.4 Dyadic adding machine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.5 Frações contínuas e mapa de Gauß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5 Órbitas regulares e perturbações 31
5.1 Teoremas de ponto fixo “topológicos” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.2 Bacia de atração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.3 Dinâmica das contrações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.4 Ordem da reta real e trajetórias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.5 Análise local: pontos fixos atrativos e repulsivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.6 Convergência no método de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6 Flows 39
6.1 Structure of physical models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.2 Integration of one-dimensional systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.3 Exponential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.4 Linear systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.5 Existence and uniqueness theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
7 Oscillations and cycles 51
7.1 Harmonic oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7.2 Mathematical pendulum and Jacobi’s elliptic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . 52
7.3 Central forces and planetary motions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7.4 Cycles in chemistry and biology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.5 Weather report . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8 Linearização 59
8.1 Linearização conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
8.2 Hiperbolicidade e linearização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59