My title - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

3 SISTEMAS DINÂMICOS TOPOLÓGICOS, DEFINIÇÕES BÁSICAS 19
3.5 Conjuntos invariantes
Conjuntos invariantes. A função característica do subconjunto A ⊂ X é invariante sse f −1 (A) =
A. Uma definição consistente com esta observação é a seguinte: um subconjunto A ⊂ X é dito
invariante se
f −1 (A) = A
Esta condição implica que f (A) ⊂ A, e portanto um ponto de um conjunto invariante tem toda a
sua história, futura e passada, contida no conjunto.
Observe que GO f (x) é o menor conjunto invariante que contém x, e portanto um conjunto
invariante é uma reunião de grandes órbitas, é composto pelas histórias possíveis passadas e futuras
dos seus pontos.
Se f é invertível, O f (x) é o menor conjunto invariante que contém x. Isto implica que, se
f : X → X é invertível, um subconjunto A ⊂ X é invariante sse é uma reunião de órbitas
completas, i.e. se A = ∪ x∈A O f (x).
Conjuntos ±invariantes. Não há maneira de evitar o problema de distinguir entre outras
noções de invariância. Um subconjunto A ⊂ X é dito +invariante se f(A) ⊂ A (se o futuro dos
pontos de A vive em A), e é dito −invariante se f −1 (A) ⊂ A (se o passado dos pontos de A está
em A, ou os pontos de A “veem” de A).
Em particular, se A é +invariante é possível definir o sistema dinâmico f | A : A → A.
Exercícios.
• Descubra as implicações entre as condições
f −1 (A) = A , f(A) ⊂ A , f −1 (A) ⊂ A ,
f(A) = A , e f −1 (A) = A = f(A)
para uma transformação qualquer, uma transformação sobrejetiva e uma transformação bijetiva.
• Considere o conjunto C igual a GO f (x), O f (x) ou O + f
(x) para algum ponto x ∈ X, e
determine as propriedades de invariância dos conjuntos C, C, ∂C e C ′ .
• Seja A ⊂ X. Mostre que ∪ n≥0 f n (A) é um conjunto +invariante, de fato o menor conjunto
+invariante que contém os pontos de A..
• Seja A ⊂ X. Mostre que, se f : X → X é invertível, então ∪ n∈Z f n (A) é um conjunto
invariante, de fato o menor conjunto invariante que contém os pontos de A.
• Seja ϕ : X → R um observável, e seja A ⊂ X o conjunto dos pontos x ∈ X tais que o limite
ϕ (x) = lim n→∞ ϕ n (x) existe. Mostre que A é invariante, e que o observável ϕ : A → R é
invariante com respeito à transformação f | A : A → A.
3.6 Conjugação topológica
Conjugação. Os sistemas dinâmicos topológicos f : X → X e g : Y → Y são (topologicamente)
conjugados se existe um homeomorfismo h : X → Y , dito conjugação, tal que
h ◦ f = g ◦ h
Observe que a condição pode também ser escrita como f = h −1 ◦ g ◦ h, e que é uma relação de
equivalência. Por indução, vê-se que f n = h −1 ◦ g n ◦ h para todo tempo n ≥ 0. Em particular,
uma conjugação h envia órbitas de f em órbitas de g.
A ideia é que duas transformações topologicamente conjugadas são indistinguíveis do ponto
de vista topológico (estamos simplesmente a mudar o nome aos pontos do espaço dos estados), e
portanto mais vale estudar a dinâmica de um representante por cada classe de equivalência.