My title - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

3 SISTEMAS DINÂMICOS TOPOLÓGICOS, DEFINIÇÕES BÁSICAS 18
Fix (f n ) denota o conjunto dos pontos fixos da transformação f n , ou seja o conjunto dos pontos
periódicos de f cujos períodos dividem n.
Per f = ∪ n≥1 Fix (f n )
denota o conjunto dos pontos periódicos da transformação f. Observe que cada um dos conjuntos
Fix (f n ) é fechado, pois f n é contínua, mas a reunião Per f pode não ser.
Exercício. Estude a dinâmica, ou seja a estrutura das órbitas, de uma transformação arbitrária
definida num conjunto finito {1, 2, . . . , n}. Observe que o estudo da dinâmica das transformações
bijetivas consiste essencialmente no estudo dos grupos simétricos S n .
3.4 Observáveis
Observáveis. Os observáveis são funções ϕ : X → R ou C. Se o sistema está inicialmente no
estado x, e portanto é observado o valor ϕ (x) de ϕ, passado um tempo n a observação de ϕ dará
o valor ϕ (f n (x)).
Constantes do movimento. Particularmente interessantes são os observáveis que não mudam
no tempo, que os físicos chamam “constantes do movimento”. A função ϕ : X → R é dita
invariante se
ϕ ◦ f = ϕ
ou seja se é constante em cada órbita. Observe que, se ϕ é invariante, I ⊂ R e A = ϕ −1 (I),
então f −1 (A) = A. A existência de uma função invariante ϕ contém a seguinte informação:
se sabemos que ϕ (x) = a, então o futuro e o passado de x pertencem ao conjunto de nível
Σ a = {x ∈ X t.q. ϕ (x) = a}, i.e. GO f (x) ⊂ Σ a . As funções invariantes, portanto, reduzem o
espaço disponível às trajetórias.
Funções de Lyapunov. Também úteis são observáveis monótonos, crescentes ou decrescentes,
ao variar o tempo, conhecidos em física como “funções de Lyapunov”. Por exemplos, se sabemos
que ϕ ◦ f ≤ ϕ, e que ϕ (x) = a, então o futuro de x “não sai” do conjunto de sub-nível Σ ≤a =
{x ∈ X t.q. ϕ (x) ≤ a}, e o passado de x “vem” de Σ ≥a = {x ∈ X t.q. ϕ (x) ≥ a}.
Exercícios.
• Mostre que, se ϕ : X → R é invariante, I ⊂ R e A = ϕ −1 (I), então f −1 (A) = A.
• Mostre que a função característica do subconjunto A ⊂ X é invariante sse f −1 (A) = A.
Médias temporais. A média temporal (ou média de Birkhoff ) do observável ϕ até ao tempo
n ≥ 0 é o observável ϕ n definido por
ϕ n (x) = 1
n + 1
n∑
ϕ ( f k (x) )
i.e. o valor de ϕ n no ponto x é a média aritmética dos valores de ϕ na “n-órbita de x”, o subconjunto
{
x, f (x) , f 2 (x) , ..., f n (x) } .
Se o limite
k=0
ϕ (x) = lim
n→∞ ϕ n (x)
existe, tem o significado de “valor médio assimptótico” de ϕ ao longo da órbita de x. Observe
também que ϕ (x) = (ϕ ◦ f) (x) nos pontos onde o limite existe.
Se, em particular, 1 A denota a função característica de um subconjunto A ⊂ X, então o limite
1
1 A (x) = lim
n→∞ n + 1 card { 0 ≤ k ≤ n t.q. f k (x) ∈ A }
se existir, representa “a fração de tempo assimptótica” que a trajetória de x passa em A, ou seja
”a frequência com que a trajetória de x visita o conjunto A”.