My title - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

3 SISTEMAS DINÂMICOS TOPOLÓGICOS, DEFINIÇÕES BÁSICAS 17
3.2 Trajetórias e órbitas
Trajetórias. Estamos interessados no comportamento assimptótico da “história” de um ponto
x ∈ X, a sequência de pontos
x ↦→ f(x) ↦→ f 2 (x) ↦→ f 3 (x) ↦→ ...
A ideia é que, se X é o espaço dos estados de um sistema físico, e se o sistema está no estado x
no tempo 0, então o sistema estará no estado f (x) no tempo 1, no estado f 2 (x) = f (f (x)) no
tempo 2, etc...
A trajetória de x ∈ X é a sucessão (x n ) n∈N0
, a função que, dada a “condição inicial” x 0 = x,
associa a cada tempo n ≥ 0 o estado do sistema x n = f n (x) no tempo n. Observe que a trajetória
do ponto x é a solução da equação recursiva (ou equação às diferenças de primeira ordem)
como condição inicial x 0 = x.
x n+1 = f (x n )
Órbitas.
A órbita de x ∈ X é a imagem da sua trajetória, ou seja o conjunto
O + f (x) = {f n (x)} n∈N0
É costume abusar da linguagem e utilizar indistintamente as palavras “trajetória” e “órbita”, desde
que seja claro o contexto e o significado da frase.
Em geral, um ponto x pode ter mais de uma pré-imagem, e portanto o seu passado não é único.
A grande órbita do ponto x é o conjunto
GO f (x) = {x ′ ∈ X t.q. ∃ n, m ≥ 0 t.q. f n (x ′ ) = f m (x)}
ou seja o conjunto dos pontos que têm eventualmente a mesma história futura de x.
Observe que “estar na mesma grande órbita” é uma relação de equivalência. Vale a pena dizer
desde já que o espaço quociente, dito espaço das órbitas, pode ser complicado, se as trajetórias
forem pouco regulares. Por exemplo, se f admite uma órbita densa, então a topologia quociente
no espaço das órbitas é a topologia trivial! Isto mostra que o espaço das órbitas, em quanto espaço
topológico, pode não conter muita informação acerca do sistema dinâmico.
Se f é invertível, também é útil definir a órbita completa (que de fato coincide com a grande
órbita)
O f (x) = {f n (x)} n∈Z
a história passada e futura de x. A relação “estar na mesma órbita completa” é uma relação de
equivalência, e portanto X é uma reunião disjunta de órbitas completas.
3.3 Órbitas periódicas
Pontos fixos.
As órbitas mais simples são os pontos fixos de f, os pontos p ∈ X tais que
f(p) = p .
Se X é um espaço linear, os pontos fixos são soluções da equação f(x) − x = 0.
Órbitas periódicas. A seguir, as órbitas periódicas. O ponto p ∈ X é dito periódico de período
n ≥ 1 se f n (p) = p e se n é o menor dos tempos k ≥ 1 tais que f k (p) = p. Assim, a órbita do
ponto periódico p é um conjunto finito
{
p, f (p) , f 2 (p) , ..., f n−1 (p) }
de pontos que são permutados pela transformação f.
Um ponto x pode ter órbita finita sem ser periódico: pode acontecer que existe k ≥ 1 tal que
f k (x) é um ponto periódico. Tais pontos, que “caem” numa órbita periódica passado um tempo
positivo, são ditos pré-periódicos.