My title - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

3 SISTEMAS DINÂMICOS TOPOLÓGICOS, DEFINIÇÕES BÁSICAS 16
3 Sistemas dinâmicos topológicos, definições básicas
3.1 Transformações
Transformações. Nestas notas, um sistema dinâmico topológico será uma ação de N 0 ou de Z
num espaço topológico (X, τ), gerada por uma transformação contínua f : X → X.
As “iteradas” da transformação f são as transformações f n : X → X, com n ∈ N 0 , definidas
indutivamente por
f 0 = id e f n = f ◦ f n−1 se n ∈ N
(cuidado! nesta notação f 2 (x) não é o quadrado de f (x), mas f (f (x)) ... ).
Em geral, se n ∈ N e A é um subconjunto de X, então f −n (A) denota o conjunto
f −n (A) = {x ∈ X t.q. f n (x) ∈ A} .
Se f é um homeomorfismo, é possível definir as iteradas f n : X → X para todo n ∈ Z.
A ação Φ : N 0 × X → X, ou Φ : Z × X → X se f for um homeomorfismo, é definida por
Φ n (x) = f n (x).
Espaço dos estados. A seguir, (X, d) será um espaço métrico completo munido da topologia
induzida τ, localmente compacto (todo ponto admite uma vizinhança compacta) e separável
(admite um subconjunto enumerável denso, e portanto, sendo um espaço métrico, uma base enumerável
da topologia). Por exemplo, domínios de R n , intervalos da reta, o círculo R/Z, o toro
R n /Z n , o plano complexo C, a esfera de Riemann C, conjuntos de Cantor... e produtos cartesianos
de espaços finitos. Para evitar trivialidades e detalhes inúteis, assumiremos também que a
cardinalidade de X seja infinita.
Translações em espaços homogeneos. A maneira mais simples, de fato tautológica, de construir
ações é algébrica.
Seja G um grupo topológico, um grupo munido de uma topologia de Hausdorff tal que as
operações (g, g ′ ) ↦→ gg ′ e g ↦→ g −1 sejam contínuas. Dado um subgrupo Γ ⊂ G, é possível formar
o espaço homogéneo X = G/Γ = {gΓ com g ∈ G}, munido da topologia quociente (a “maior”
topologia em G/Γ tal que a projeção π : G → G/Γ seja contínua).
Todo subgrupo S ⊂ G age no espaço homogeneo X = G/Γ, a ação S × G/Γ → G/Γ sendo
(s, gΓ) ↦→ sgΓ. O espaço das órbitas é S\G/Γ.
Em particular, um subgrupo cíclico S = {s n } n∈Z
gera uma ação Φ : Z × X → X definida por
Φ n (gΓ) = s n gΓ, que consiste em iterar a translação esquerda
gΓ ↦→ sgΓ .
Propriedades genéricas. Tem interesse falar de coisas como “a maioria das trajetórias”, ou
“quase todas as trajetórias”.
Sendo X um espaço topológico, existe a possibilidade de considerar medidas (de probabilidades
ou infinitas) sobre os borelianos de X. Dada uma medida de probabilidades µ, uma propriedade
é verificada em µ-quase todo ponto se o conjunto C dos pontos que têm a propriedade em causa
tem probabilidade µ (C) = 1 (se a massa de µ for infinita, a condição tem que ser substituida por
µ (X\C) = 0).
O análogo topológico da dicotomia “probabilidade zero ou um” é possível se X é um espaço de
Baire, ou seja um espaço topológico de Hausdorff (cada dois pontos distintos admitem vizinhanças
disjuntas) onde toda interseção enumerável de abertos densos é densa. Num espaço de Baire, um
subconjunto é dito residual (ou gordo) se contém uma interseção enumerável de abertos densos, e
é dito magro se é uma reunião enumerável de subconjuntos “nowhere dense” (cuja aderência tem
interior vazio), ou seja se o seu complementar é residual. Uma propriedade é dita genérica se o
conjunto C dos pontos de X que têm a propriedade em causa é residual. O teorema de Baire diz
que exemplos de espaços de Baire são os espaços métricos completos.