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2 ITERATION/RECURSION 14 Generating function. power series Given a sequence (x n ), defined anyway, we may consider the (formal) ∑ x n z n n≥0 If the series has a non-zero radius of convergence r = 1/ lim sup n→∞ x 1/n n > 0, hence defines an analytic function g(z) in some neighborhood B r (0) = {z ∈ C s.t. |z| < r} ⊂ C of the origin, then the original sequence may be recovered computing derivatives, as x n = g (n) (0)/n!. Theorem A power series ∑ n≥0 x nz n represents a rational function f(z) ∈ C(z) iff the coefficients x n satisfy a recursive linear equation. Exercícios. • If f n denotes the n-th Fibonacci number, then the power series ∑ n≥0 f nz n represents the rational function 1 1 − z − z 2 Observe that it has a pole at 1/φ, and deduce that lim sup n→∞ |f n | 1/n = φ (so that f n ∼ φ n ). 2.6 Transformações do intervalo e cobweb plot Análise gráfica. Considere transformações f : I → R definidas num intervalo I da reta real. A iteração é possível quando f (I) ⊂ I. Um estudo ingénuo (mas instrutivo!) das trajetórias pode-se fazer seguindo a história de um ponto x traçando os segmentos verticais e horizontais (x, f(x)) ↦→ (f(x), f(x)) ↦→ (f(x), f 2 (x)) ↦→ (f 2 (x), f 2 (x)) ↦→ (f 2 (x), f 3 (x)) ↦→ ... ajudando-se com o gráfico da identidade. Cobweb plot of the quadratic map f(x) = λx(1 − x) when λ = 3.56. É surprendente observar que, logo que f não é linear, as trajetórias podem ter comportamento mesmo complicado... Experiência: a família quadrática. Podem começar procurando entender a dinâmica da família quadrática, a família das transformações f λ : x ↦→ λx (1 − x) definidas na reta real, ao variar o parâmetro real λ. Esta família contém quase tudo o que está nestas notas... é uma ”palestra” para testar ideias e resultados, e o seu estudo ainda levanta hoje em dia problemas e conjeturas!
2 ITERATION/RECURSION 15 Experiência. Procure entender a dinâmica das seguintes transformações definidas em intervalos de R convenientes. x ↦→ ±x 3 x ↦→ x 1/3 x ↦→ x 3 ± x x ↦→ x 2 + 1/4 x ↦→ 3x(1 − x) x ↦→ 4x(1 − x) x ↦→ |1 − x| x ↦→ x 2 − 2 x ↦→ sin x e cos x
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