My title - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

2 ITERATION/RECURSION 14
Generating function.
power series
Given a sequence (x n ), defined anyway, we may consider the (formal)
∑
x n z n
n≥0
If the series has a non-zero radius of convergence r = 1/ lim sup n→∞ x 1/n
n > 0, hence defines an
analytic function g(z) in some neighborhood B r (0) = {z ∈ C s.t. |z| < r} ⊂ C of the origin, then
the original sequence may be recovered computing derivatives, as x n = g (n) (0)/n!.
Theorem A power series ∑ n≥0 x nz n represents a rational function f(z) ∈ C(z) iff the coefficients
x n satisfy a recursive linear equation.
Exercícios.
• If f n denotes the n-th Fibonacci number, then the power series ∑ n≥0 f nz n represents the
rational function
1
1 − z − z 2
Observe that it has a pole at 1/φ, and deduce that lim sup n→∞ |f n | 1/n = φ (so that f n ∼ φ n ).
2.6 Transformações do intervalo e cobweb plot
Análise gráfica. Considere transformações f : I → R definidas num intervalo I da reta real. A
iteração é possível quando f (I) ⊂ I. Um estudo ingénuo (mas instrutivo!) das trajetórias pode-se
fazer seguindo a história de um ponto x traçando os segmentos verticais e horizontais
(x, f(x)) ↦→ (f(x), f(x)) ↦→ (f(x), f 2 (x)) ↦→ (f 2 (x), f 2 (x)) ↦→ (f 2 (x), f 3 (x)) ↦→ ...
ajudando-se com o gráfico da identidade.
Cobweb plot of the quadratic map f(x) = λx(1 − x) when λ = 3.56.
É surprendente observar que, logo que f não é linear, as trajetórias podem ter comportamento
mesmo complicado...
Experiência: a família quadrática. Podem começar procurando entender a dinâmica da
família quadrática, a família das transformações
f λ : x ↦→ λx (1 − x)
definidas na reta real, ao variar o parâmetro real λ. Esta família contém quase tudo o que está
nestas notas... é uma ”palestra” para testar ideias e resultados, e o seu estudo ainda levanta hoje
em dia problemas e conjeturas!