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2 ITERATION/RECURSION 12 Exercícios. • Use Newton method to solve Newton’s problem, i.e. find the roots of x 3 − 2x − 5. • Show that Newton method to solve x 2 − a = 0 corresponds to babylonian-Heron iterative scheme. • Use o método de Newton para aproximar a “razão”, a raiz positiva de x 2 − x − 1. Then, compare with the babylonian-Heron method (i.e., estimate √ 5, then sum 1 and divide by 2). • Write and implement Newton method to find n-th roots, i.e. to solve x n − a = 0. Newton’s fractals. Em 1879 Cayley observou que o método pode ser utilizado também para aproximar raízes complexas de polinómios p(z) ∈ C[z]. A receita consiste em iterar a função racional f(z) = z − p(z) p ′ (z) O problema é decidir quando, ou seja para quais valores da conjetura inicial z 0 , a sucessão (z n ), com z n+1 = f(z n ), converge para uma raiz de p(z). As bacias de atração das diferentes raizes desenham padrões surprendentes no plano complexo Basins of attraction of the roots of 2z 3 − 2z + 2 in C (from http://en.wikipedia.org/wiki/Newton_fractal). Iteração de funções racionais na esfera de Riemann. É natural considerar iterações de funções racionais f(z) ∈ C(z) arbitrárias (os endomorfismos da esfera de Riemann C = C ∪ {∞}), e querer descrever as trajecórias definidas pela equação recursiva z n+1 = f(z n ). O exemplo mais estudado consiste nas iterações da família de polinómios quadráticos f(z) = z 2 + c ao variar o parâmetro c ∈ C. A sua beleza foi intuida por Gaston Julia 6 e Pierre Fatou 7 no princípio do século XX, desvendada com o auxílio dos computadores modernos por Benoît Madelbrot, e estudada por uma multidão de excelentes matemáticos (como Adrian Douady, Dennis Sullivan, John Milnor, Misha Lyubich, Jean-Christophe Yoccoz, Curtis McMullen, . . . ) a partir dos anos ‘80 do século passado. 6 G. Julia, Mémoire sur l’iteration des fonctions rationnelles, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 8 (1918), 47-245. 7 P. Fatou, Sur les substitutions rationnelles, Comptes Rendus de l’Académie des Sciences de Paris, 164 (1917) 806-808, and 165 (1917), 992-995.
2 ITERATION/RECURSION 13 Nice pictures. Em baixo, está uma imagem que nos tempos de Julia e Fatou apenas era possível ver com uns olhos matemáticos bem afinados (um applet Java que produz a figura está no meu bestiario). O laço de corações vermelhos à esquerda, chamado Mandelbrot set, consiste nos valores do parâmetro complexo c tais que a órbita do ponto crítico z 0 = 0 permanece limitada. A região cinzenta à direita, chamada filled-in Julia set, consiste no conjunto das condições iniciais z 0 cuja órbita é limitada. As outras côres (que permitem ver os conjuntos “invisíveis” de Cantor) são escolhidas dependendo da velocidade com que as trajectórias z n fogem para o infinito. Conjunto de Mandelbrot (esquerda) e conjunto de Julia do polinómio z 2 + c com c ≃ −0.7645 − i · 0.1595 (direita). (from http://w3.math.uminho.pt/~scosentino/bestiario/julia.html) 2.5 Finite difference equations Fibonacci model is the prototype of Recursive linear equations. A recursive linear equation (or “finite difference linear equation”) is a law a p x n+p + a p−1 x n+p−1 + · · · + a 1 x n+1 + a 0 x n = 0 which defines a sequence (x n ) given a set of “initial conditions” x 0 , x 1 , . . . , x p−1 . Above, a 0 ≠ 0, a 1 , . . . , a p−1 , a p ≠ 0 are real or complex parameters. It is a discrete version of a linear ordinary differential equation of degree p with constant coefficients. Eigenfunctions. The general recipe is: “linear equations have exponential solutions”. The conjecture x n = z n solves the recursive equation if z is a root of the characteristic polynomial P (z) = a p z p + a p−1 z p−1 + · · · + a 1 z + a 0 In particular, if P has p distinct roots (in C), say z 1 , z 2 , . . . , z p , then the general solution of the recursive equation is a linear combination x n = c 1 z1 n + c 2 z2 n + · · · + c p zp n where the c 1 , c 2 , . . . , c p are constants which depend on the initial conditions x 0 , x 1 , . . . x p−1 . Exercícios. • Find an explicit formula for the Fibonacci numbers f n ’s (which is known as Binet’s formula).
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