My title - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

2 ITERATION/RECURSION 12
Exercícios.
• Use Newton method to solve Newton’s problem, i.e. find the roots of x 3 − 2x − 5.
• Show that Newton method to solve x 2 − a = 0 corresponds to babylonian-Heron iterative
scheme.
• Use o método de Newton para aproximar a “razão”, a raiz positiva de x 2 − x − 1. Then,
compare with the babylonian-Heron method (i.e., estimate √ 5, then sum 1 and divide by 2).
• Write and implement Newton method to find n-th roots, i.e. to solve x n − a = 0.
Newton’s fractals. Em 1879 Cayley observou que o método pode ser utilizado também para
aproximar raízes complexas de polinómios p(z) ∈ C[z]. A receita consiste em iterar a função
racional
f(z) = z − p(z)
p ′ (z)
O problema é decidir quando, ou seja para quais valores da conjetura inicial z 0 , a sucessão (z n ),
com z n+1 = f(z n ), converge para uma raiz de p(z). As bacias de atração das diferentes raizes
desenham padrões surprendentes no plano complexo
Basins of attraction of the roots of 2z 3 − 2z + 2 in C
(from http://en.wikipedia.org/wiki/Newton_fractal).
Iteração de funções racionais na esfera de Riemann. É natural considerar iterações de
funções racionais f(z) ∈ C(z) arbitrárias (os endomorfismos da esfera de Riemann C = C ∪ {∞}),
e querer descrever as trajecórias definidas pela equação recursiva z n+1 = f(z n ).
O exemplo mais estudado consiste nas iterações da família de polinómios quadráticos
f(z) = z 2 + c
ao variar o parâmetro c ∈ C. A sua beleza foi intuida por Gaston Julia 6 e Pierre Fatou 7 no princípio
do século XX, desvendada com o auxílio dos computadores modernos por Benoît Madelbrot, e
estudada por uma multidão de excelentes matemáticos (como Adrian Douady, Dennis Sullivan,
John Milnor, Misha Lyubich, Jean-Christophe Yoccoz, Curtis McMullen, . . . ) a partir dos anos
‘80 do século passado.
6 G. Julia, Mémoire sur l’iteration des fonctions rationnelles, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 8
(1918), 47-245.
7 P. Fatou, Sur les substitutions rationnelles, Comptes Rendus de l’Académie des Sciences de Paris, 164 (1917)
806-808, and 165 (1917), 992-995.