My title - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

2 ITERATION/RECURSION 11
If a is the greater part and b the less of a line of lenght a + b, Euclid’s requirement is
a + b
a
There follows that the ratio φ = a/b satisfies 1 + 1/φ = φ. This division of an interval is used in
Book IV of the Elements to construct a regular pentagon.
= a b
Exercícios.
• Show that φ −1 is equal to φ − 1.
Extreme and mean ratio, and regular pentagon.
(from http://en.wikipedia.org/wiki/Golden_ratio)
• Show that φ is irrational using its geometric definition (see Euclid’s Elements, or [HW59]
4.6.)
2.4 Newton method to find roots of polynomials
Roots of polynomials. Finding √ a means solving the polynomial equation z 2 − a = 0. What
about finding roots of a generic polynomial p(x) ∈ R[x]
Newton-Raphson iterative scheme. O “método de Newton” é um método proposto por
Joseph Raphson em 1690 para aproximar raízes de um polinómio p(x) (o Newton só queria era
resolver x 3 − 2x − 5 = 0). Consiste em “adivinhar” uma aproximação razoável x 0 de uma raiz, e
depois melhorar a conjectura usando o zero da aproximação linear p(x 0 ) + p ′ (x 0 )(x − x 0 ).
O método, portanto, consiste na recursão
Search for a root of x 3 − 2x − 5 using Newton iterations.
x n+1 = x n − p(x n)
p ′ (x n ) .
Se a sucessão converge, i.e. x n → x ∞ , e se p ′ (x ∞ ), então o limite x ∞ é uma raiz de p.