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15 DIMENSIONS, FRACTALS AND ENTROPY 100 De facto, é imediato ver que C ε (X, d n+m ) ≤ C ε (X, d n ) · C ε (X, d m ) Portanto, a sequência c n = log C ε (X, d n ) é subaditiva, ou seja, satisfaz c n+m ≤ c n + c m . Subadditive sequence lemma. Let (a n ) n∈N be a quasi-subadditive real sequence, i.e. a sequence such that a n+m ≤ a n + a m + c for any n, m ∈ N and some c ≥ 0. Then there exists the limit a n lim n→∞ n ∈ R ∪ {−∞} . Proof. A existência do limite lim n→∞ a n /n é equivalente à existência do limite lim n→∞ b n /n, onde b n = a n + c. A sucessão (b n ) é subaditiva, ou seja satisfaz b n+m ≤ b n + b m , donde b n ≤ nb 1 . Portanto, a sucessão (b n /n) é limitada, logo existe λ =lim n→∞ b n /n. Dado ε > 0, existe N ∈ N tal que b N /N < λ + ε. Seja agora n = kN + r, com k ∈ N e 0 ≤ r < N, e seja B = max 1≤i 0 existe δ ′ (ε) tal que se d ′ (x, y) < δ ′ (ε) então d(x, y) < ε. Isto implica que C ε (X, d n ) ≤ C δ′ (ε)(X, d ′ n). Por outro lado, para cada ε > 0 existe δ(ε) tal que se d(x, y) < δ(ε) então d ′ (x, y) < ε. Isto implica que C ε (X, d ′ n) ≤ C δ(ε) (X, d n ). As duas desigualdades provam que a entropia topológica não depende da métrica. Seja h : X → Y é uma conjugação topológica entre f : X → X e g : Y → Y . Se d ′ é uma métrica que induz a topologia de Y , então d(x, y) = d ′ (h(x), h(x ′ )) é uma métrica que induz a topologia de X, e a conjugação h : (X, d) → (Y, d ′ ) é uma isometria. Isto implica que C ε (X, d n ) = C ε (Y, d ′ n). Além disso, não é dificil provar que, como esperado, se g é um fator de f então h top (g) ≤ h top (f).
15 DIMENSIONS, FRACTALS AND ENTROPY 101 Exercícios. • Mostre que as contrações e as isometrias têm entropia topológica igual a zero. • Calcule a entropia topológica da multiplicação x + Z ↦→ d · x + Z quando d = 2, 3, 4, . . . . Deduza que a entropia topológica de uma transformação expansora do círculo f : S → S é h top (f) = log (deg (f)) . • Seja σ : Σ + → Σ + o deslocamento de Bernoulli num alfabeto de z letras. Use a métrica em Σ + = {1, 2, . . . , z} N para mostrar que d(x, y) = z − min{k∈N s.t. x k≠y k } h top (σ) = log z .
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