My title - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

15 DIMENSIONS, FRACTALS AND ENTROPY 100
De facto, é imediato ver que
C ε (X, d n+m ) ≤ C ε (X, d n ) · C ε (X, d m )
Portanto, a sequência c n = log C ε (X, d n ) é subaditiva, ou seja, satisfaz c n+m ≤ c n + c m .
Subadditive sequence lemma. Let (a n ) n∈N be a quasi-subadditive real sequence, i.e. a sequence
such that
a n+m ≤ a n + a m + c
for any n, m ∈ N and some c ≥ 0. Then there exists the limit
a n
lim
n→∞ n ∈ R ∪ {−∞} .
Proof. A existência do limite lim n→∞ a n /n é equivalente à existência do limite lim n→∞ b n /n,
onde b n = a n + c. A sucessão (b n ) é subaditiva, ou seja satisfaz b n+m ≤ b n + b m , donde b n ≤ nb 1 .
Portanto, a sucessão (b n /n) é limitada, logo existe λ =lim n→∞ b n /n. Dado ε > 0, existe N ∈ N
tal que b N /N < λ + ε. Seja agora n = kN + r, com k ∈ N e 0 ≤ r < N, e seja B = max 1≤i 0 existe δ ′ (ε) tal que se d ′ (x, y) < δ ′ (ε) então d(x, y) < ε. Isto implica que
C ε (X, d n ) ≤ C δ′ (ε)(X, d ′ n). Por outro lado, para cada ε > 0 existe δ(ε) tal que se d(x, y) < δ(ε)
então d ′ (x, y) < ε. Isto implica que C ε (X, d ′ n) ≤ C δ(ε) (X, d n ). As duas desigualdades provam que
a entropia topológica não depende da métrica.
Seja h : X → Y é uma conjugação topológica entre f : X → X e g : Y → Y . Se d ′
é uma métrica que induz a topologia de Y , então d(x, y) = d ′ (h(x), h(x ′ )) é uma métrica que
induz a topologia de X, e a conjugação h : (X, d) → (Y, d ′ ) é uma isometria. Isto implica que
C ε (X, d n ) = C ε (Y, d ′ n).
Além disso, não é dificil provar que, como esperado, se g é um fator de f então h top (g) ≤
h top (f).