My title - Departamento de Matemática da Universidade do Minho

2 ITERATION/RECURSION 10
2.3 Fibonacci numbers
Fibonacci problem. Considere o seguinte problema, posto por Leonardo Pisano (mais conhecido
como Fibonacci, ou seja, “filius Bonacci”) no seu Liber Abaci, 1202:
Quot paria coniculorum in uno anno ex uno pario germinentur.
Quidam posuit unum par cuniculorum in quodam loco, qui erat undique pariete circundatus,
ut sciret, quot ex eo paria germinarentur in uno anno: cum natura eorum sit
per singulum mensem aliud par germinare; et in secundo mense ab eorum natiuitate
germinant. 4
Fibonacci numbers. A resposta de Leonardo Pisano consiste no seguinte modelo. Se f n o
número de pares de coelhos no n-ésimo mês, então
f n+1 = f n + f n−1 .
Esta é uma “lei” que prescreve recursivamente os valores dos f n dados uns valores iniciais f 0 e f 1 .
The sequence grows quite fast, as you can see:
1, 1, 2 , 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584 , . . .
and the numbers soon become astronomically large. For example, after 10 years we get
larger than the Avogadro number!
f 120 ≃ 8.67 × 10 24 ,
Quotients and the growth of Fibonacci numbers. How fast do Fibonacci numbers grow
Seja q n = f n+1 /f n o quociente entre sucessivos números de Fibonacci. Os quocientes satisfazem a
equação recursiva
q n+1 = 1 + 1/q n
We compute:
1 , 2 , 3/2 = 1.5 , 5/3 ≃ 1.66666 , 8/5 = 1.6 , 13/8 = 1.625 , 21/13 ≃ 1.61538 , . . .
A sucessão dos q n converge (uma demonstração não é difícil, e será dada mais a frente), ou seja,
q n → φ se n → ∞. Ao passar ao limite na equação recursiva temos que φ = 1 + 1/φ, e portanto φ
é uma raiz (positiva) do polinómio x 2 − x − 1, ou seja,
φ = 1 + √ 5
2
≃ 1.6180339887498948482 . . .
Hence, for large values of n we may approximate Fibonacci law as
f n+1 ≈ φf n ,
an exponential growth with rate φ. In particular, we expect f n ∼ φ n .
The “ratio”. The limit φ is another famous irrational, the Greeks’ “ratio/proportion”. As
described by Euclid: 5
“A straight line is said to have been cut in extreme and mean ratio when, as the whole
line is to the greater segment, so is the greater to the less.”
4 Quantos pares de coelhos podem ser gerados por um par em um ano.
Alguém tem um par de coelhos, em um lugar inteiramente fechado, para descobrir quantos pares de coelhos podem
ser gerados deste par em um ano: por natureza, cada par de coelhos gera cada mês outro par, e começa a procrear
a partir do segundo mês após o nascimento.
5 Euclid, Elements, Book VI, Definition 3.