Análise de Observabilidade e Processamento de Erros Grosseiros ...
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56 Estimador de Estado Não-Linear [ ] [ ] [ ] A B x a = C D y b (3.17) x é um vetor de dimensão n x e y é um vetor de dimensão n y , logo n x + n y = n. O vetor a é um vetor de dimensão m a e o vetor b possui dimensão m b com m a + m b = m. Considere que a solução do sistema acima é exata, isto é, o vetor resíduo é nulo e que a submatriz A possui posto completo. Nesse caso a seguinte transformação é válida: [ ] [ ] [ ] A B x a 0 D − CA + = B y b − CA + a (3.18) A + é a pseudoinversa de A, ou seja, A + = (A ′ A) −1 A ′ (a definição de pseudoinversa encontra-se no Apêndice C). Assumindo-se também que b − CA + a possui posto completo, então y pode ser estimado por: ŷ = (D − CA + B) + (b − CA + a) (3.19) (D − CA + B) + é a pseudo inversa de D − CA + B. Portanto o estado estimado de ̂x é dado por: ̂x = A + (a − Bŷ) x e y. Observando os passos acima, pode-se criar um algoritmo para determinar as estimativas de Algoritmo 3 passos 1. Determine o valor temporário de x: ̂x temp = A + a = (A ′ A) −1 A ′ a (3.20) 2. Estime ŷ: D eq = D − CA + B b eq = b − CA + a
3.5 Estimadores desacoplados 57 ŷ = (D ′ eqD eq ) −1 D ′ eqb eq 3. Estime ̂x: ̂x = ̂x temp − A + Bŷ A solução acima representa o caso em que o vetor independente é exato. No caso da estimação de estado tais vetores possuirão erros e a solução representará uma aproximação do modelo exato, conforme será visto mais adiante. 3.5.2 Solução utilizando o Método Gauss-Newton Considere o sistema linearizado em termos das variáveis ∆Θ e ∆V [ ] [ ] HPΘ H PV ∆Θ = H QV ∆V H QΘ [ ] ∆zP ∆z Q (3.21) Pré-multiplicando ∆z p por −H QΘ H + PΘ e adicionando em ∆z Q, chega-se a: [ ] [ ] [ ] HPΘ H PV ∆Θ ∆zP = 0 ˜HQV ∆V ∆˜z Q (3.22) com ˜H QV = H QV − H QΘ H + PΘ H PV (3.23) ∆˜z Q = ∆z Q − H QΘ H + PΘ z P (3.24) Ainda, considerando que ˜H + QV = ( ˜H ′ QV ˜H QV ) −1 ˜H′QV (3.25) Pode-se transformar ∆z P em:
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3.5 Estimadores <strong>de</strong>sacoplados 57<br />
ŷ = (D ′ eqD eq ) −1 D ′ eqb eq<br />
3. Estime ̂x:<br />
̂x = ̂x temp − A + Bŷ<br />
A solução acima representa o caso em que o vetor in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nte é exato. No caso da estimação<br />
<strong>de</strong> estado tais vetores possuirão erros e a solução representará uma aproximação do mo<strong>de</strong>lo<br />
exato, conforme será visto mais adiante.<br />
3.5.2 Solução utilizando o Método Gauss-Newton<br />
Consi<strong>de</strong>re o sistema linearizado em termos das variáveis ∆Θ e ∆V<br />
[ ] [ ]<br />
HPΘ H PV ∆Θ<br />
=<br />
H QV ∆V<br />
H QΘ<br />
[ ] ∆zP<br />
∆z Q<br />
(3.21)<br />
Pré-multiplicando ∆z p por −H QΘ H + PΘ e adicionando em ∆z Q, chega-se a:<br />
[ ] [ ] [ ]<br />
HPΘ H PV ∆Θ ∆zP<br />
=<br />
0 ˜HQV ∆V ∆˜z Q<br />
(3.22)<br />
com<br />
˜H QV = H QV − H QΘ H + PΘ H PV (3.23)<br />
∆˜z Q = ∆z Q − H QΘ H + PΘ z P (3.24)<br />
Ainda, consi<strong>de</strong>rando que<br />
˜H + QV = ( ˜H ′ QV ˜H QV ) −1 ˜H′QV (3.25)<br />
Po<strong>de</strong>-se transformar ∆z P em:
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