Análise de Observabilidade e Processamento de Erros Grosseiros ...

50 Estimador de Estado Não-Linear
z = h(x) + e (3.1)
z é o vetor de medidas de dimensão m, x é o vetor de estado real do sistema de dimensão n,
com n < m, h(.) é o vetor de funções não-lineares que relacionam medidas aos estados. O vetor
e de erros é considerado com média nula e com matriz covariância R z .
O estimador de estado é formulado como a minimização do erro ponderado quadrático representado
pela função J(x).
J(x) = 1 2 [z − h(x)]′ R −1
z [z − h(x)] (3.2)
que pode ser reescrita da seguinte forma:
J(x) = 1 2
m∑
j=1
(
zj − h j (x)
σ j
) 2
(3.3)
onde σ 2 j é o elemento (j, j) da matriz covariância do erro de medida R z. O método Newton-
Raphson aplica diretamente as condições de otimalidade sobre a função J(x). A condição de
primeira ordem para esse modelo é dado por:
∂J(ˆx)
∂x
m = − ∑
( )
zj − h j (x) ∂hj (x)
∂x
j=1
σ j
= 0 (3.4)
Chamando a função g(x) = ∂J(ˆx)
∂x
, o objetivo resume-se em determinar as raízes. Realizandose
a expansão de Taylor da função g(x), obtém-se a expressão do tipo:
g(x + ∆x) ≃ g(x) + G(x)∆x (3.5)
G(x) corresponde a matriz Hessiana de J(x).
G(x) = ∂2 J(x)
∂x 2 =
m∑
j=1
σj
−1 ∂h j (x)
∂x
( ∂hj (x)
∂x
)′
−
m∑
( )
zj − h j (x) ∂ 2 h j (x)
∂x 2 (3.6)
j=1
σ j