Análise de Observabilidade e Processamento de Erros Grosseiros ...
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20 Análise de Observabilidade da matriz G . Observe o seguinte teorema apresentado em (Monticelli e Wu, 1985): Teorema 1 Assuma o modelo de medida cc z = HΘ + e, onde H é uma matriz m × n sem medidas de ângulos de tensão (ou seja, sem uma referência angular). As seguintes afirmações são equivalentes: (i) O sistema é observável; (ii) Se H é obtida de H retirando-se uma coluna, então H possui posto completo; (iii) A fatoração triangular reduz a matriz ganho G = H ′ H na forma da matriz indicada na Fig. (2.9). 1 n 1 PSfrag replacements n . 0 Figura 2.9: Matriz n × n fatorada. A área sombreada indica a possibilidade da existência de elementos não-nulos. Prova • (i) ⇐⇒ (ii). O fluxo no ramo P km = x −1 km (θ k − θ m ) é zero se e somente se todos os ângulos de tensões nodais forem iguais ao ângulo de referência, i.e., sendo θ k = α, para k = 1, 2, 3, . . . , n, onde α é um número real. Portanto, (i) é equivalente a se afirmar que (a) HΘ = 0 se Θ = α1, onde 1 = (1, 1, . . . , 1) ′ .
2.5 Definição de Observabilidade - Modelo Barra/Ramo 21 1. (a) =⇒ (ii). Considere que H é obtida de H eliminando-se a k − ésima coluna de h. Supondo que H Θ = 0, se Θ = (Θ ′ , 0) ′ , então, H tem posto completo. 2. (ii) =⇒ (a). Como a soma das colunas é sempre igual a zero, H1 = −h. Portanto, (H ′ H) −1 H ′ h = −1. Se HΘ = 0 ou H Θ + hθ k = 0, então Θ = −(H ′ H) −1 H ′ hθ k = 1θ k . • (ii) ⇐⇒ (iii). escrita da seguinte forma: Suponha a partição da matriz H = (H, h), a matriz ganho G pode ser ( ′ ′ ) H H H h G = H ′ H = h ′ H h ′ h (2.13) A submatriz H ′ H será não-singular se e somente se a fatoração triangular a reduzir a uma matriz triangular. Aplicando a eliminação de Gauss em bloco sobre a matriz particionada, eliminará a submatriz h ′ H e modificará o elemento h ′ h: h ′ h − h ′ H(H ′ H) −1 H ′ h = h ′ h + h ′ H1 = h ′ h − h ′ h = 0 (2.14) O que implica no elemento (n, n) da matriz H ′ H igual a zero conforme a Fig. (2.9). O teorema expressa o fato de que para um sistema observável, a fatoração de sua matriz ganho fornecerá apenas um elemento nulo na diagonal ao final do processo, pois o posto da matriz H e G é igual a n − 1. Tal fato não acontece com sistemas não observáveis conforme será demonstrado a seguir. 2.5.3 Sistema não-observável Quando a fatoração é realizada sobre a matriz ganho H ′ H de um sistema não-observável, mais de um pivô nulo aparecerá durante o processo (elementos da diagonal da matriz fatorada). A estrutura da matriz fatorada será semelhante à da Fig. (2.10). Θ a representa as variáveis observáveis e Θ b as variáveis não observáveis que necessitam de valores de referência para possibilitar a resolução do problema (valores geralmente obtidos através de séries históricas, ou a partir de programas de previsão de carga). Observa-se ainda na figura que a resolução da área em cinza fornece o estado sobre o conjunto Θ a . A matriz da Fig. (2.11) é uma representação equivalente à matriz da Fig. (2.10), porém os elementos nulos da diagonal foram substituídos
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2.5 Definição <strong>de</strong> Observabilida<strong>de</strong> - Mo<strong>de</strong>lo Barra/Ramo 21<br />
1. (a) =⇒ (ii). Consi<strong>de</strong>re que H é obtida <strong>de</strong> H eliminando-se a k − ésima coluna <strong>de</strong> h.<br />
Supondo que H Θ = 0, se Θ = (Θ ′ , 0) ′ , então, H tem posto completo.<br />
2. (ii) =⇒ (a). Como a soma das colunas é sempre igual a zero, H1 = −h. Portanto,<br />
(H ′ H) −1 H ′ h = −1. Se HΘ = 0 ou H Θ + hθ k = 0, então Θ = −(H ′ H) −1 H ′ hθ k =<br />
1θ k .<br />
• (ii) ⇐⇒ (iii).<br />
escrita da seguinte forma:<br />
Suponha a partição da matriz H = (H, h), a matriz ganho G po<strong>de</strong> ser<br />
( ′ ′ )<br />
H H H h<br />
G = H ′ H =<br />
h ′ H h ′ h<br />
(2.13)<br />
A submatriz H ′ H será não-singular se e somente se a fatoração triangular a reduzir a uma<br />
matriz triangular. Aplicando a eliminação <strong>de</strong> Gauss em bloco sobre a matriz particionada,<br />
eliminará a submatriz h ′ H e modificará o elemento h ′ h:<br />
h ′ h − h ′ H(H ′ H) −1 H ′ h = h ′ h + h ′ H1<br />
= h ′ h − h ′ h<br />
= 0<br />
(2.14)<br />
O que implica no elemento (n, n) da matriz H ′ H igual a zero conforme a Fig. (2.9). O<br />
teorema expressa o fato <strong>de</strong> que para um sistema observável, a fatoração <strong>de</strong> sua matriz ganho<br />
fornecerá apenas um elemento nulo na diagonal ao final do processo, pois o posto da matriz<br />
H e G é igual a n − 1. Tal fato não acontece com sistemas não observáveis conforme será<br />
<strong>de</strong>monstrado a seguir.<br />
2.5.3 Sistema não-observável<br />
Quando a fatoração é realizada sobre a matriz ganho H ′ H <strong>de</strong> um sistema não-observável,<br />
mais <strong>de</strong> um pivô nulo aparecerá durante o processo (elementos da diagonal da matriz fatorada).<br />
A estrutura da matriz fatorada será semelhante à da Fig. (2.10). Θ a representa as variáveis<br />
observáveis e Θ b as variáveis não observáveis que necessitam <strong>de</strong> valores <strong>de</strong> referência para possibilitar<br />
a resolução do problema (valores geralmente obtidos através <strong>de</strong> séries históricas, ou a<br />
partir <strong>de</strong> programas <strong>de</strong> previsão <strong>de</strong> carga). Observa-se ainda na figura que a resolução da área<br />
em cinza fornece o estado sobre o conjunto Θ a . A matriz da Fig. (2.11) é uma representação<br />
equivalente à matriz da Fig. (2.10), porém os elementos nulos da diagonal foram substituídos
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