Análise de Observabilidade e Processamento de Erros Grosseiros ...
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110 Identificação e Tratamento de Erros Interativos Não-conformativos J(̂x novo ) = J(̂x) − ‖r n k ‖2 = 0 (4.36) Da mesma forma que o caso de erros simples, mostra-se que na ocorrência de erros múltiplos, nenhum subconjunto de erros apresentará a norma Euclideana maior que o conjunto com erros grosseiros, porém, pode haver casos em que existirão conjuntos suspeitos com valores próximos ou até mesmo iguais de norma euclideana. O teste de hipótese estendido para detecção de erros múltiplos considerando o vetor de resíduos múltiplos normalizados é realizado da seguinte forma. Na hipótese de não existir erros grosseiros, os elementos de r n k possuem distribuição normal com média nula e variância unitária, ‖r n k ‖2 = (r n k )′ r n k seguirá uma distribuição χ2 k com i graus de liberdade. Para decidir se uma determinada hipótese pertence à distribuição, estabelecem-se as seguintes hipóteses: • Hipótese nula: H 0 - E{‖r n k ‖2 } = i • Hipótese alternativa: H 1 - E{‖r n k ‖2 } > i O teste para verificação de erros é realizado da seguinte forma: • Se ‖r n k ‖2 > C o conjunto possui erros grosseiros • Se ‖r n k ‖2 < C o conjunto não possui erros grosseiros Como ‖r n k ‖2 segue uma distribuição χ 2 k , pode ser expresso como segue: C = χ 2 k,1−α (4.37) onde α representa a probabilidade de falso alarme. Para casos em que o maior valor do resíduo normalizado ou do vetor Lagrangeano normalizado apresenta-se igual para diversas medidas ou pseudomedidas, deve-se realizar uma análise das combinações entre esses elementos de forma a identificar o conjunto correto de erros que proporcionará maior redução na função J(̂x). Já na ocorrência de erros conformativos as análises devem identificar as hipóteses mais prováveis, ao invés de encontrar uma única solução, pois os testes anteriores não consideram a probabilidade de ocorrência. Observe a partir dos casos a seguir, a diferença entre erros interativos não-conformativos e conformativos.
4.4 Erros múltiplos interativos 111 4.4.2 Exemplos de erros múltiplos Sistema 3 barras sem erros grosseiros Considere os seguintes vetores para o sistema da Fig. (4.1) anterior, o valor medido z med , medida estimada ẑ, resíduo ̂r e resíduo normalizado r n obtidos: z med = ⎛ ⎞ ⎛ P12 m 1, 53 P m 21 −1, 54 P m 13 0, 49 P m ẑ = 23 −0, 49 P m ⎜ 2 ⎝ −1, 98 ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ P3 m 0, 028 1.509 −1.509 0.502 −0.504 −2.013 0.001 ⎞ ⎛ ̂r = ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ 0, 021 −0, 031 −0, 012 0, 013 0, 032 0, 026 ⎞ ⎛ r n = ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ 0, 791 −1, 165 −0, 424 0, 494 1, 471 1, 292 ⎞ ⎟ ⎠ (4.38) Nesse caso, todos os resíduos normalizados estão abaixo do limite de três desvios padrões (limiar utilizado para decidir se a medida é ou não portadora de erros grosseiros) portanto, nenhum erro grosseiro está presente. Realizando o teste de hipótese com a função J(̂x) considerando a probabilidade de falso alarme de 5%, observa-se que o valor é baixo com J(̂x) = 3, 545 se comparado com o limite C = χ 2 4;0,95 = 9, 49. Exemplo de erros múltiplos não-correlatos Agora considere o caso em que, P21 m = −2, 54 p.u. e P 2 m = 0, 0 p.u.. O erro é detectado através da função J(̂x) =3969,9. Os vetores medida estimada, resíduo e resíduo normalizado assumem os seguintes valores: ẑ = ⎛ ⎞ ⎛ P 12 1, 229 P 21 −1, 229 P 13 0, 582 ̂r = P 23 −0, 064 P ⎜ 2 ⎝ −1, 292 ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ P 3 −0, 518 −0, 301 −1, 311 −0, 092 −0, 426 1, 292 0, 546 ⎞ ⎛ r n = ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ 11, 267 −49, 058 −3, 132 −15, 283 58, 272 26, 411 ⎞ ⎟ ⎠ (4.39)
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110 I<strong>de</strong>ntificação e Tratamento <strong>de</strong> <strong>Erros</strong> Interativos Não-conformativos<br />
J(̂x novo ) = J(̂x) − ‖r n k ‖2 = 0 (4.36)<br />
Da mesma forma que o caso <strong>de</strong> erros simples, mostra-se que na ocorrência <strong>de</strong> erros múltiplos,<br />
nenhum subconjunto <strong>de</strong> erros apresentará a norma Eucli<strong>de</strong>ana maior que o conjunto com erros<br />
grosseiros, porém, po<strong>de</strong> haver casos em que existirão conjuntos suspeitos com valores próximos<br />
ou até mesmo iguais <strong>de</strong> norma eucli<strong>de</strong>ana.<br />
O teste <strong>de</strong> hipótese estendido para <strong>de</strong>tecção <strong>de</strong> erros múltiplos consi<strong>de</strong>rando o vetor <strong>de</strong><br />
resíduos múltiplos normalizados é realizado da seguinte forma. Na hipótese <strong>de</strong> não existir erros<br />
grosseiros, os elementos <strong>de</strong> r n k<br />
possuem distribuição normal com média nula e variância unitária,<br />
‖r n k ‖2 = (r n k )′ r n k<br />
seguirá uma distribuição χ2 k<br />
com i graus <strong>de</strong> liberda<strong>de</strong>. Para <strong>de</strong>cidir se uma<br />
<strong>de</strong>terminada hipótese pertence à distribuição, estabelecem-se as seguintes hipóteses:<br />
• Hipótese nula: H 0 - E{‖r n k ‖2 } = i<br />
• Hipótese alternativa: H 1 - E{‖r n k ‖2 } > i<br />
O teste para verificação <strong>de</strong> erros é realizado da seguinte forma:<br />
• Se ‖r n k ‖2 > C o conjunto possui erros grosseiros<br />
• Se ‖r n k ‖2 < C o conjunto não possui erros grosseiros<br />
Como ‖r n k ‖2 segue uma distribuição χ 2 k<br />
, po<strong>de</strong> ser expresso como segue:<br />
C = χ 2 k,1−α (4.37)<br />
on<strong>de</strong> α representa a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> falso alarme.<br />
Para casos em que o maior valor do resíduo normalizado ou do vetor Lagrangeano normalizado<br />
apresenta-se igual para diversas medidas ou pseudomedidas, <strong>de</strong>ve-se realizar uma análise<br />
das combinações entre esses elementos <strong>de</strong> forma a i<strong>de</strong>ntificar o conjunto correto <strong>de</strong> erros que proporcionará<br />
maior redução na função J(̂x). Já na ocorrência <strong>de</strong> erros conformativos as análises<br />
<strong>de</strong>vem i<strong>de</strong>ntificar as hipóteses mais prováveis, ao invés <strong>de</strong> encontrar uma única solução, pois os<br />
testes anteriores não consi<strong>de</strong>ram a probabilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> ocorrência. Observe a partir dos casos a<br />
seguir, a diferença entre erros interativos não-conformativos e conformativos.