Análise de Observabilidade e Processamento de Erros Grosseiros ...

3.9 Formulação matemática 83
min
J(x) = 1 2 r(x)′ r(x)
s.a. c(x) = 0
Associando os multiplicadores λ às restrições de igualdade, a função Lagrangeana de Eq. (3.52)
é escrita da seguinte forma:
L(x, Λ) = 1 2 r(x)′ r(x) − Λ ′ c(x) (3.54)
com r = ∆z − H∆x. A condição de otimalidade exige que:
∂L/∂x = −H ′ (x)r(x) − C ′ (x)Λ = 0 (3.55)
∂L/∂Λ = −c(x) = 0 (3.56)
H(x) = ∂h(x)
∂x
e
C(x) = ∂c(x)
∂x
(3.57)
Observe que agora é necessário a resolução de dois conjuntos de equações não-lineares. Utilizando
a expansão de Taylor de r(x) e de c(x) temos:
r(x) ≃ r ν − H(x ν )∆x ν (3.58)
c(x) ≃ c ν − C(x ν )∆x ν (3.59)
Pode-se colocar a Eq. (3.55) e Eq. (3.56) na forma matricial abaixo:
[ ′
H (x ν )H(x ν ) −C ′ (x ν ] [
) ∆x
ν
] [ ′
H (x ν )r(x ν ]
)
−C(x ν ) 0 Λ ν+1 =
c(x ν )
(3.60)
A formulação acima foi empregada por (Aschmoneit et al., 1977). A sua principal característica
é evitar o produto matricial sobre o conjunto de restrições de igualdade. Uma das
características desse sistema e de suas variantes é que a matriz de coeficientes deixa de ser